Question

求一道数学题答案

有16个人参加一次考试，试题只有选择题，每题有四个选项。待结果出来后，16人中任意两人之间，在对所有问题的选择答案中，至多有一个题选的是一样。求该考试最多有几题.. (已经说得足够细致的了。。大家读懂题再答好了~ 求正解。。求解释。。。)

Answer 1

做一个选择题，有四个选项，则16个人有16个答案
设选A有X1人，B有X2人，C有X3人，D有X4人，
X1+X2+X3+X4=16
则这一道题的两个人选的一样的种数为
X1(X1-1)/2+X2(X2-1)/2+X3(X3-1)/2+X4(X4-1)/2
=(X1^2+X2^2+X3^2+X4^2)/2-8
≥ (X1+X2+X3+X4)^2/8-8
=24
即做一道题就最少会有24种两个人选的一样的情况
而16人中任意两人之间，在对所有问题的选择答案中，至多有一个题选的是一样
所以最多有16(16-1)/2=120种两个人选的一样的情况
所以最多有120/24=5道题

追问

谢谢O(∩_∩)O~我明白你的意思~不过实际过程中不一定能恰好将这些可能性分配下去吧。。假设排好了4道题16个人的组合，按你说的一共有96对两个人选的一样的情况，还剩24对两两间完全不同的。可比方1和2的选项完全不同，1和3的选项完全不同，2和3之间的却不一定完全不同，在分配时你就不能让123的第五题都选A，会造成一定的限制的吧。是我理解错了么？如果可能的话想求一套符合条件的5道题16人各自的选项可以么？4道的也成~多谢了

追答

选项 A B C D
第一题 x1x2x3x4 x5x6x7x8 x9x10x11x12 x13x14x15x16
第二题 x1x5x9x13 x2x6x10x14 x3x7x11x15 x4x8x12x16
第三题 x1x6x11x16 x2x7x12x13 x3x8x9x14 x4x5x10x15
第四题 x1x7x10x14 x2x8x11x15 x3x5x12x16 x4x6x9x13
第五题 x1x8x12x15 x2x5x9x16 x3x6x10x13 x4x7x11x14
xn代表第n个人

Answer 2

设选A有X1人，B有X2人，C有X3人，D有X4人，
X1+X2+X3+X4=16
则这一道题的两个人选的一样的种数为
X1(X1-1)/2+X2(X2-1)/2+X3(X3-1)/2+X4(X4-1)/2
=(X1^2+X2^2+X3^2+X4^2)/2-8
≥ (X1+X2+X3+X4)^2/8-8
=24
即做一道题就最少会有24种两个人选的一样的情况
而16人中任意两人之间，在对所有问题的选择答案中，至多有一个题选的是一样
所以最多有16(16-1)/2=120种两个人选的一样的情况
所以最多有120/24=5道题

追问

谢谢O(∩_∩)O~我明白你的意思~不过实际过程中不一定能恰好将这些可能性分配下去吧。。假设排好了4道题16个人的组合，按你说的一共有96对两个人选的一样的情况，还剩24对两两间完全不同的。可比方1和2的选项完全不同，1和3的选项完全不同，2和3之间的却不一定完全不同，在分配时你就不能让123的第五题都选A，会造成一定的限制的吧。是我理解错了么？如果可能的话想求一套符合条件的5道题16人各自的选项可以么？4道的也成~多谢了

Answer 3

最少5题

Answer 4

最多5题。希望能帮到你~

Answer 5

最多5题