Question

一道数学题，很绞的哦，十分容易算错！很多人都计算错误！有高手行吗？

甲乙两个仓库向AB两地运送水泥。已知甲库可调出水泥100吨，乙库可调出水泥80吨。A地需要水泥70吨，B地需要水泥110吨。两库到AB两地的运费如下表
甲库至A地20km，运费（12元）/（吨.千米）
甲库至B地25km，运费（10元）/（吨.千米）
乙库至A地15km，运费（12元）/（吨.千米）
乙库至B地8km， 运费（20元）/（吨.千米）

（1）设甲库运往A地水泥x吨，求总运费y与x的关系。（注意是全部的运费！总运费哈！）
（2）求甲、乙两库个运往A、B两地多少水泥时，总运费最省，最省的运费是多少？

Answer 1

(1)x的取值范围是0<=x<=70
甲至A的总运费：12*20x
乙至A的总运费：12*15（70-x）
甲至B的总运费：10*25（100-x）
乙至B的总运费：20*8[110-（100-x）]或20*8[80-（70-x）]即20*8（10+x）
所以y=12*20x+12*15（70-x）+10*25（100-x）+20*8（10+x）=39200-30x（0<=x<=70）
（2）
求y最小值，y是单调递减函数，X值越大Y值越小，所以当X=70时Y有最小值
y=39200-30*70=37100
即甲往A运70吨水泥，甲往B运100-70=30吨水泥，乙往B运110-30=80吨水泥，此时运费最省，总运费为37100元。

Answer 2

（1）解：设甲到A是X，乙到A是[70-X]，甲到B是：100-X，乙到B是：80-[70-X]=10+X

y=12*20x+15*12(70-x)+25*10(100-x)+8*20(10+x)
=240x+12600-180x+25000-250x+1600+160x
=39200--30x(x<或=70)

(2)当x=70时，运费最少，y=39200-30*70=37100

即当甲库往A地运70吨水泥，往B地运30吨，乙库往A地运0吨，往B地运80吨时，运费最低，为37100（元）

Answer 3

(1)甲库运往A地的运费：240x
甲库运往B地的运费：250(100-x)
乙库运往A地的运费：180(70-x)
乙库运往B地的运费：160(10+x)
于是总运费y＝240x+250(100-x)+180(70-x)+160(10+x)＝39200-30x (x<=70)
(2)显然当x=70时y最小，此时y=37100元。

Answer 4

此题是一个“二元函数条件极值”问题，可以用拉格朗日乘子法做。可以设甲库运往A地X吨，乙库运往A地Y吨，则甲库运往B地（100-X）吨，乙库运往B地（80-Y）吨。则此问题化为在约束条件
X + Y = 70;
(100 - X) + (80 - Y) = 110.
下，运费函数f(X,Y)的极小值问题。由拉格朗日乘子法，构造函数F(X,Y),则
F(X,Y)=f(X,Y)+a(X + Y - 70)+b【(100 - X) + (80 -Y) - 110】
其中，f(X,Y)是总的运费函数，f(X,Y)=(12 * 20)X + (12 * 15)Y + (25 * 10)*(100 - X) + (20*8)*(80 - Y)
= -10X + 20Y +37800
注意，* 为乘号！
则所求的（X,Y）满足下列方程组
Fx = 0;
Fy = 0;
Fa = 0;
Fb = 0.
式中，Fx为函数F(X,Y)对X的偏导数；Fy为函数F(X,Y)对Y的偏导数；Fa为函数F(X,Y)对a的偏导数;Fb为函数F(X,Y)对b的偏导数.
剩下的你自己求一下偏导数，解上面四元一次线性方程组后，求出（X,Y）即可。然后将求出的（X,Y）代入运费函数f(X,Y)就能算出运费的极小值，也就是最省的运费。

追问

这这这这这这这。。。。好深奥！果然是高手！可是我没学过啥拉格朗日什么法耶。。。二元函数条件极值也没听说过。。。。你高中吗？

追答

(70,37100)，额，以后有题找我！

Answer 5

(1) y=12*20x+15*12(70-x)+25*10(100-x)+8*20(10+x)
=39200--30x
(2) x=70时y最小，此时y=37100元