Question

高一函数问题 详细过程 谢谢~

定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-3/4，0)成中心对称，对任意的实数x都有f(x)=-f(x+3/2)
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且f(-1)=1，f(0)=-2，则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2005)=?

Answer 1

好吧,我承认我看"中心对称"看成了"轴对称"...果断改

解:
f(x) = -f(x+3/2) = -(-f(x+3)) = f(x+3)

所以f(x)是一个以3为最小周期的周期函数

其中:

x = -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...

f(x) = 1 ,-2 , ? , 1 ,-2 , ? , 1 ,-2 ...

现需求 f(1+3k),k∈整数 的值

因为f(x)关于(-3/4,0)中心对称

所以 f(-1/2) = -f(-1) = -1

又 f(-1/2) = -f(-1/2 + 3/2) = -1

所以 f(1) = 1

那么 f(1+3k) = 1

综上所述,

f(1+3k) = 1
f(2+3k) = 1
f(3+3k) = -2 (k∈整数)

所以

f(1+3k)+f(2+3k)+f(3+3k) = 0 (k∈整数)

即每一个最小周期的和为0

2005 整除 3 = 668 余1

所以

f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2005) = 668*(0) + (1) = 1

Answer 2

因为f(x-3/4)= -f(x+3/4)
所以f(-1/2)= - f(1)
又因为f(-1)=1
所以f(-1/4+(-3/4))=-f(1/2)=1
所以f(1/2)=-1

追问

则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2005)=?这个没体现啊 周期函数不太清楚

追答

你题目是不是搞错了？我有点忘了高中的东西，你再想想。这类题目的大体思路是：先找出f(1)的值，f(2)的值。。。你就会发现一些规律。我估计这条题目的答案是f(1)=f(2)=...=1
最终答案为2005

追问

选项为-2 -1 0 1 ·········

Answer 3

楼上所言极是，一定要采纳他啊