Question

函数y=cos(x/2+3∏／2)(x∈[0,2∏]的图像与y=1/2的交点的个数

函数y=cos(x/2+3∏／2)(x∈[0,2∏]的图像与y=1/2的交点的个数
函数f(x)=lnx+2的x次方若f(x2+2) <f(3x)则x的范围
若f(x)=ax3+ax+2满足f(-1)>1,f(1)<1,则f(x)=1的解的个数
函数f(x)=sinx-cosx若g(x)=e的x次方,求证f(x)=g(x)在[0,+ ∞）无解

Answer 1

1) x∈[0,2π]时，x/2+3π/2∈[3π/2,5π/2]，而cos(3π/2)=0, cos(5π/2)=cos(π/2)=0
又cos(x/2+3π/2)在x/2+3π/2∈[3π/2,5π/2]时值域为[0,1]，∴其图像与y=1/2有2个交点
2) f(x)=lnx+2^x, f'(x)=1/x+2^x*ln2>0, ∴f(x)为增函数，其定义域为x>0
又f(x2+2) <f(3x)，由增函数可知，x2+2<3x，即x2-3x+2<0，解不等式得1<x<2
3) f(x)=ax3+ax+2, f'(x)=3ax2+a=a(3x2+1), ∵当a≠0时，f'(x)≠0，∴f(x)在定义域上为单调函数
又f(x)=ax3+ax+2满足f(-1)>1,f(1)<1，即f(1)<1<f(-1), ∴f(x)在定义域上为单调减函数
∴f(x)=1的解的个数只有1个
4) 函数g(x)=e^x为增函数，g(0)=e^0=1，∴在[0,+ ∞）上g(x)≥1
函数f(x)=sinx-cosx=√2(sinxcos(π/4)-cosxsin(π/4))=√2sin(x-π/4)
在[π/4,3π/4]上为增函数，其值域为[0,√2]，且当x=3π/4时取得最大值f(3π/4)=√2
g'(x)=e^x, f'(x)=cosx+sinx=√2sin(x+π/4); g'(x)-f'(x)≥0，仅当x=0时，g'(x)=f'(x)
当x∈[0,π/4]时， f(x)<0<1≤g(x), f(x)=g(x)无解
当x∈[π/4,3π/4]时，f(x), g(x)同时为增函数；g'(x)-f'(x)≥0可知，f(x)的增长率总是≥g(x)的增长率
比较端点函数值f(π/4)=0<e^(π/4)=g(π/4)，f(3π/4)=√2<e<e^(3π/4)=g(3π/4)
∴在x∈[π/4,3π/4]上总有f(x)<g(x), f(x)=g(x)无解
当x∈[3π/4,+∞]时，f(x)开始变减函数，而g(x)仍为增函数，明显f(x)<g(x), f(x)=g(x)无解
综上所述，在整个定义域x∈[0,+∞]上，总有f(x)<g(x), ∴f(x)=g(x)无解