Question

如图，一道几何数学题

D,E,F分别为三角形ABC的三条边上的三等分线，
三角形ABC的面积为49，
求三角形DEF的面积
改一下题
D,E,F分别为三角形abc的三条边上的三等分线
fc，db，ae相交，形成一个小三角形
求证 这个小三角形的面积是三角形ABC的面积的七分之一

Answer 1

这个题可用梅涅劳斯定理做比较有力。

梅涅劳斯定理：一条直线交三角形的三边（延长线）的分比之积等于1.

以图中的△ABD为例，直线FC交△ABD的三边(AD边于延长线)于F, I, C，则

 (FA/FB)·(IB/ID)·(CD/CA)=1，

由于FA/FB=-1/2, CD/CA=1/3, 代入上式可得IB/ID= -6

又，直线AE交△BCD的三边(CD边于延长线)于E, A, H，则

（EB/EC）·（AC/AD）·（HD/HB）=1，

将EB/EC=-1/2, AC/AD=3/2代入得HD/HB=-4/3.

可见H，I分别是线段BD的第3、第6个7等分点，所以H是BI的中点。

同理，G是AH的中点，I是CG的中点。由三角形中线平分其面积的性质，三角形ABC被分割成7个相等的小△，所以……。

Answer 2

三分之一
算AFD,CDE,BEF的面积
afd看成以AD为底的三角形，底为大三角形的2/3，高为1/3，故面积为2/9.同理可得另外两个的面积也为2/9.故三角形DEF面积为1/3，即49/3

Answer 3

楼上解得完全正确

Answer 4

三角形DEC的底边DC与三角形ABC的底边AC比值为1/3，同时两三角形的对应底边上的高之比等于EC比BC等于2/3，所以上述两三角形的面积之比为2/9，同理三角形FAD、三角形EBF分别与三角形ABC的面积之比均为2/9，所以三角形DEF面积与三角形ABC面积之比为1:3.同理可证小三角形面积为三角形DEF面积的3/7，所以小三角形面积是三角形ABC面积的1/7.

Answer 5

易知△ABE的面积=S1+S6+S3=1/3*(S△ABC)=S△BCD=S1+S4+S2=S△ACF=S2+S5+S3，将它们加起来，则S1+S6+S3+ S1+S4+S2+ S2+S5+S3=(S△ABC)=S+S1+S2+S3+S4+S5+S6 得S=S1+S2+S3

过E作EG∥AC，有△OGE≌△ODA，和△BGE≌△BDC，

则OE:OA=GE:AD=GE:(2*DC)=1:6 （∵其中AD:DC=2:1, GE:DC=1:3）

∴S1:(S3+S6)=1:6 即6*S1=S3+S6同理可得 

6*S2=S1+S4，

6*S3=S2+S5

将它们左右分别加和，则有6*(S1+S2+S3)= 6*S= S1+S2+S3+S4+S5+S6= S△ABC-S

故7*S=S△ABC，得证。