Question

求证：根号2是无理数

假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示
则：m^2/n^2=2
是为什么？ 看不懂

Answer 1

解答：∵任何一个有理数都可以写成m／n的形式，其中m、n都是整数，且m、n互质。本题用反证法可以证明：假设√2是一个有理数，则√2=m／n，∴﹙m／n﹚²=2，即m²=2n²，∵m，n互质，∴m一定是2的倍数，设m=2k，代入得：﹙2k﹚²=2n²，得：4k²=2n²，∴n²=2k²，∵m与n互质，∴k也一定与n互质，∴n一定是2的倍数，∴m与n都是2的倍数，即m、n不互质，这与条件：m、n互质矛盾，∴√2一定不是有理数，∴√2是无理数

追问

为什么
任何一个有理数都可以写成m／n的形式，其中m、n都是整数，且m、n互质

追答

解答：有理数的定义。

Answer 2

如果根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示

如果是有限小数，可以易证：该数可以写成m／n的形式，其中m、n都是整数（n不等于0），且m、n互质。

如果是无限小数，如果是无限循环小数，该数也可以写成m／n的形式，其中m、n都是整数（n不等于0），且m、n互质。

只有无限不循环小数（即无理数），才不能写成以上形式，这个可以当作定理来看，不用证明。

追问

为什么

如果根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示

追答

查一下定义
有理数：整数和分数统称理数；

无限不循环小数就是无理数；

追问

如何易证 如果是有限小数
该数可以写成m／n的形式，其中m、n都是整数（n不等于0），且m、n互质。

追答

如果是有限小数, 该数可以写成m／n的形式,其中m、n都是整数（n不等于0），这句话没必要证明吧！！ 直接用十进制数的特点表述，如0.11=11/100,

m、n互质, 只要针对分子分母化简去掉共同的公约数，就可以得到互质的两个数，如0.15=15/100=3/20

Answer 3

证明:
假设根号2是有理数，那么必有：
√2(表示根号2)=最简分数m/n
所以m^2/n^2=2
因此m能被2整除，
故能设m=2t
再代入得：
4t^2/n^2=2
也就是：
2t^2=n^2
所以n也能被2整除，
因此m，n存在约数2，与题目m/n是最简分数矛盾，
所以假设不成立，
原命题得证。

Answer 4

假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2
所以m是偶数
假设m=2k，那么2*n^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，与原设相矛盾
故根号2是无理数

Answer 5

20190821 数学04