Question

关于函数图象的对称性问题

1. 若f(x)+f(a-x)=b，则两图像关于（a/2,b/2)对称。

如何证明？

2.还有没有什么相关结论？

3.已知f(x)+f(-x)=3。为什么可以求出f-1(x-1)+f(4-x)的值，为什么它也适用第一条结论？
f-1(x-1)+f(4-x) 为 f-1(x-1)+f-1(4-x) 两个都表示反函数。。

Answer 1

问题一：
这个一个函数图象自身关于点的对称问题，其一般情况是：
若函数f(x)满足对任意实数x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)的图象关于点(a,b)对称。
说明：①记忆方法：数形结合；
②等价式子：f(x)+f(2a-x)=2b；
③特例：b=0时，则f(x)的图象关于点(a,0)对称；若a=b=0,则f(x)+f(-x)=0，此时f(x)为奇函 数。
④证明提示：只需在f(x)的图象上任取一点P（x,y),再证明点P（x,y)关于点(a,b)的对称点也在f(x)的图象上。

问题二：
一个函数图象自身关于一条直线的对称问题：
（1）若函数f(x)满足对任意实数x，都有f(a+x)=f(a-x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称。
说明：①记忆方法：数形结合；
②等价式子：f(x)=f(2a-x)；
③特例：a=0 时，f(x)=f(-x), 即f(x)为偶函数。
再说明：对称问题是一个比较复杂的问题，不要混淆两条曲线之间关于一条直线对称与一条曲线自身关于一条直线对称；也不要混淆两条曲线之间关于一个点对称与一条曲线自身关于一个点的对称。

问题三：
此题还应加一个条件：f(x)存在反函数。
解答：设f(x)=y,f(-x)=z,则x=f-1(y),-x=f-1(z),从而f-1(y)+f-1(z)=0,故所求等于0。

Answer 2

1. 证明：点P(x，y)关于点Q（a/2，b/2)的对称点是P'(a-x，y-b)，若点P(x，y)在y=f(x)上，又y+f(a-x)=b，所以b-y=f(a-x)，即点P'(a-x，y-b)也在y=f(x)上，函数图像关于点Q（a/2,b/2）对称。
2. 这个结果是奇函数定义"对于函数y=f(x)，若-y=f(-x)，则y=f(x)是奇函数（图像关于点（0,0）对称“的推广。
3.已知f(x)+f(-x)=3，可以知道函数图像关于点Q（0,3/2）对称，但要求f-1(x-1)+f(4-x)的值似乎条件还不够。

Answer 3

反函数关于Y=X对称。。。第三问我也没大看懂。。