Question

设函数f(x)=x²+x-¼,已知数列｛an｝中，a1=P,a(n+1)=f(an),(n∈N﹢)

1)若P＞½，求证a(n+1)＞an
2)若P=1.5，求a2,a3,a4,猜想数列｛an｝的通项，并用数学归纳法给予证明。

Answer 1

字可能不好看，见谅

Answer 2

证明：1）an+1+1/2=(an+1/2)^2,取对数
ln(an+1/2)=2^(n-1)ln(P+1/2),故an+1/2=(P+1/2)^（2^(n-1))
数列{an+1/2}递增，故{an}递增
显然递增
2）由1）
a2=7/2,a3=31/2,a4=511/2
an=2^(2^(n-1))-1/2

Answer 3

y=f(x)
则√(x²-4)=1/y
x²=2+1/y²
x<-2
所以x=-√(2+1/y²)
所以f-1(x)=-√(2+1/x²)
所以1/a(n+1)=-√(2+1/an²)
平方
1/a²(n+1)=2+1/an²
1/a²(n+1)-1/an²=2
所以1/an²等差，d=2
1/a1²=1
所以1/an²=2n-1
²=1/(2n-1)

1/a(n+1)=-√(2+1/an²)<0
所以a(n+1)<0
即an<0
所以an=-1/√(2n-1)
7月d7