Question

如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D

（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=2，AO= 根号5，求OD的长度．

Answer 1

（1）证明：∵AC是⊙切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠OAB+∠CAB=90°．
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠ODB+∠B=90°．
∵OA=OB
∴∠OAB=∠B，
∴∠CAB=∠ODB．
∵∠ODB=∠ADC，
∴∠CAB=∠ADC
∴AC=CD；

（2）解：在Rt△OAC中，OC=√（CA²+AC²） =3，
∴OD=OC-CD，
=OC-AC，
=3-2，
=1．

Answer 2

（1）证明：∵AC是⊙切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠OAB+∠CAB=90°．
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠ODB+∠B=90°．
∵OA=OB
∴∠OAB=∠B，
∴∠CAB=∠ODB．
∵∠ODB=∠ADC，
∴∠CAB=∠ADC
∴AC=CD；
（2）解：在Rt△OAC中，
OC=3，
∴OD=OC-CD，
=OC-AC，
=3-2，
=1．

Answer 3

(1)∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
又∵∠OAB+∠BAC=∠OBA+∠ODB=90º
∴∠ODB=∠BAC
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