Question

等腰梯形ABCD，AD∥DC=50，AD=75，BC=135，

点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向C点匀速运动、点q从点c出发沿线段cb方向以每秒3个单位长的速度匀速运动、过点q向上作射线qk⊥bc、交折射线cd-da-ab于点E、点P、Q同时开始运动、当点p与点c重合时停止运动、点q也随之停止、设点p、q、运动的时间是t秒、t＞o

（1）当点p运动到ad上时、t为何值能使pq平行dc

（2）设射线qk扫过梯形abcd
的面积为s、分别求出点e运动到cd、da上时、s与t的函数关系式、
（3）△PQE能否成为直角三角形，能写出T的取值范围，不能说明理由

Answer 1

解：(1)t=(50＋75＋50)÷5=35(秒)时，点P到达终点C.……(1分)

　　此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30.……(2分)

　　(2)如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD

　　为平行四边形，从而PD=QC.由QC=3t，BA+AP=5t，

　　得50＋75－5t=3t，解得t=.

　　经检验，当t=时，有PQ∥DC.………(4分)

　　(3)①当点E在CD上运动时，如图9，分别过点A、D

　　作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，

　　且△ABF≌△DCH，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30.

　　∴DH=AF=40.

　　又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t.

　　(注：用相似三角形求解亦可)

　　∴.……(6分)

　　②当点E在DA上运动时，如图8.过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30.

　　∴.……(8分)

　　(4)△PQE能成为直角三角形.……(9分)

　　当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35.…(12分)

　　(注：(4)问中没有答出t≠或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分)

　　下面是第(4)问的解法，仅供教师参考.

　　①当点P在BA(包括点A)上，即0＜t≤10时，如图9，过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t　= PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形.

　　②当点P、E都在AD(不包括点A但包括点D)上，即10＜t≤25时，如图8，由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t－50＋3t－30≠75，

　　解得.

　　③当点P在DC上(不包括点D但包括点C)，

即25＜t≤35时，如图10.由ED＞25×3－30=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角.

　　由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角.对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形.

　　综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35.

Answer 2

解：(1)t=(50＋75＋50)÷5=35(秒)时，点P到达终点C.……(1分)
　　此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30.……(2分)
　　(2)如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD
　　为平行四边形，从而PD=QC.由QC=3t，BA+AP=5t，
　　得50＋75－5t=3t，解得t=.
　　经检验，当t=时，有PQ∥DC.………(4分)
　　(3)①当点E在CD上运动时，如图9，分别过点A、D
　　作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，
　　且△ABF≌△DCH，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30.
　　∴DH=AF=40.
　　又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t.
　　(注：用相似三角形求解亦可)
　　∴.……(6分)
　　②当点E在DA上运动时，如图8.过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30.
　　∴.……(8分)
　　(4)△PQE能成为直角三角形.……(9分)
　　当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35.…(12分)
　　(注：(4)问中没有答出t≠或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分)
　　下面是第(4)问的解法，仅供教师参考.
　　①当点P在BA(包括点A)上，即0＜t≤10时，如图9，过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t　= PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形.
　　②当点P、E都在AD(不包括点A但包括点D)上，即10＜t≤25时，如图8，由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t－50＋3t－30≠75，
　　解得.
　　③当点P在DC上(不包括点D但包括点C)，
即25＜t≤35时，如图10.由ED＞25×3－30=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角.
　　由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角.对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形.
　　综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35.

Answer 3

解：（1）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD
为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t
得50+75-5t=3t，解得t=125/8 ．
经检验，当t= 125/8 时，有PQ∥DC．

（2）①当点E在CD上运动时，如图2．分别过点A、D
作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形
ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而
FH=AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．
又QC=3t，从而QE=QC•tanC=3t•DH/CH =4t．
（注：用相似三角形求解亦可）
∴S=S△QCE= 1\2QE•QC=6t2；
②当点E在DA上运动时，如图1．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC-CH=3t-30．
∴S=S梯形QCDE= 1/2（ED+QC）DH=120t-600．

Answer 4

请问 AD怎么能平行DC呢 ？？？？ 打错字了吧

应该是 AD等于BC吧 AD=BC=50，AB=75，DC=135， 是不是这个啊？

麻烦你给个图 行么？

追问

是打错了，不好意思。AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135。谢谢。