Question

已知：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=BC，AE⊥BC于E。求证：CD=CE

Answer 1

作CF⊥AB

在三角形ABC中，S=（AB*CF)/2=(BC*AE)/2

因为AB=BC，所以AE=CF

因为CF⊥AB,∠D=90°AB‖CD,所以有矩形AFCD，所以AD=CF，

因为AE=CF

所以AE=AD

所以Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）

所以CD＝CE

Answer 2

证明：因为 AB//DC
所以 角BAC=角ACD
因为 AB=BC
所以 角BAC=角ACB
所以 角ACD=角ACB
又因为 AC垂直于CD，AE垂直于BC
所以 角ADC=角AEC=直角
因为 AC=AC
所以 三角形ADC全等于三角形AEC
所以 CD=CE。

Answer 3

作CF⊥AB于F，连接AC。
因为AB=BC，AD⊥CD，CF⊥AB，所以，AB*CF/2=BC*AE/2，CF=AE。
显然，四边形ADCF是矩形，所以，CF=AD=AE。
在直角三角形ADC和AEC中，AC=AC，AD=AE，
所以，三角形ADC全等三角形AEC，所以，CD=CE。

Answer 4

连接AC,
AB平行CD,角BAC=角DCA,[内错角]
AB=BC,角BAC=角BCA,
所以角BCA=角DCA,
AC=AC,
角DAC=90度-角DCA=90度-角BCA=角EAC,
RT三角形ADC≌RT三角形AEC,[ASA]
所以CD=CE.

Answer 5

过B做BH垂直CD
角CBH+角ABE=90
角EAB+角ABE=90
所以角CBH=角EAB
因为角CBH=角EAB
AB=BC
角C=角ABE
所以三角形AEB与三角形BCH全等(角边角)
又因为BC=AB=DH
HC=EB
所以DH+HC=DC=BC+EB=EC
所以CD=CE