Question

一道几何题

如图，抛物线y=ax²=bx-4a经过A（-1，0），C（0，4）两点，与X轴交于另一点B。
1）求抛物线的解析式；
2）点D（m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D＇的坐标；
3）在2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标。
主要是第三题我不懂，希望有详细的过程，谢谢！
注意：P点在AC线段之间，满足∠DBP=45°

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
解得 ，a=-1，b=3
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；
（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，
∴m+1=-m2+3m+4，
即m2-2m-3=0
∴m=-1或m=3
∵点D在第一象限
∴点D的坐标为（3，4）
由（1）知OC=OB
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；
（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
由（1）有：OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CBO=45°
∴DE=CE= 二分之三根号二
∵OB=OC=4
∴BC=4 根号二
∴BE=BC-CE= 5\2根号二
∴tan∠PBF=tan∠CBD= 3\5
设PF=3t，则BF=5t，OF=5t-4
∴P（-5t+4，3t）
∵P点在抛物线上
∴3t=-（-5t+4）2+3（-5t+4）+4
∴t=0（舍去）或t= 22\25∴P（-2\5 ，25\66 ）；
方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H，过Q点作QG⊥DH于G，
∵∠PBD=45°
∴QD=DB
∴∠QDG+∠BDH=90°
又∵∠DQG+∠QDG=90°
∴∠DQG=∠BDH
∴△QDG≌△DBH
∴QG=DH=4，DG=BH=1
由（2）知D（3，4）
∴Q（-1，3）
∵B（4，0）
∴直线BP的解析式为y=- x+ -3|5x+12|5
解方程组 ,得
∴点P的坐标为（-2\5 ，66\25 ）．

追问

我想请问一下：y=- x+ -3|5x+12|5这个方程式我没看明白，是什么意思的呢？
你好，我想问这道题的第三问的第一种方法，那个t的值，我是求出t1=0，t2=-22/25，为什么和你求出来的结果不相同呢？

Answer 2

1）将点坐标A，C分别代入y=ax²+bx-4a易解得y=-x²+3x+4，B(4，0)；
2）将点D代入上式，得D(3,4)，直线BC：y=4-x，设D＇(x,y)则DD＇中点[(x+3)/2,(y+4)/2]在BC上，则有x+y=1；又DD＇与BC斜率[(y-4)/(x-3)]*(-1)=-1,得x-y=1，所以D＇(1,0).
3）设P(x,-x²+3x+4)则向量BP与BD夹角为45°，(x-4,-x²+3x+4)*(-1,4)=|BP|*|BD|*cos45°解得P.

Answer 3

如上的