Question

y=f(x)是定义域在R上的奇函数,当x≥0时，f(x)=2x-x^2

y=f(x)是定义域在R上的奇函数,当x≥0时，f(x)=2x-x^2:
(1)求x＜0时,f(x)的解析式
（2）问是否存在这样的正数a,b，当x∈[a,b]时，g(x)=f(x),且g(x)的值域为[1/b,1/a],若存在，求出所有的a,b值，若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)当x<0时，-x>0,所以f(-x)=2*(-x)-(-x)^2=-x^2-2x,因为f(x)为奇函数，即-f(x)=-x^2-2x,f(x)=x^2+2x
(2)g(x)=2x-x^2=1-(x-1)^2,第一种情况，b<=1,则g(a)=1/b,g(b)=1/a,因为b<=1,所以a<1,所以1/a>1,因为b<=1,所以g(b)<=g(1)=1,所以g(b)<1/a,方程无解，第二种情况，a<=1,b>=1,所以g(x)最大值为1，a=1,且g(b)=1/b,b=(1+√5)/2,第三种情况，a>=1,则g(a)=1/a,g(b)=1/b,解得a=b=(1+√5)/2(舍去)，综上所述a=1,b=(1+√5)/2