Question

如图,直线y=-x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B。P（a,b）为双曲线y=1/（2x） x>0上的一点

如图,直线y=-x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B。P（a,b）为双曲线y=1/（2x） x>0上的一点，PM垂直x轴于点M，交AB于E，PN垂直y轴于N，交AB于F
(1)求E,F两点的坐标（用a，b的代数式表示）
（2）求△EOF的面积（用a,b的代数式表示
(3)△EOF与△BOE是否相似，如果相似，请证明，如果不相似，请说明理由。
（4）无论点P在双曲线第一象限部分上怎样移动，证明∠EOF是一个定值。

Answer 1

容易求得A（1,0），B（0,1）
∵P(a,b)在y=(1/2)x上，∴2ab=1,于是(√2)b:1=1:(√2)a
1.显然有E（a,1-a),F（1-b，b)
∵△ABO中，OA=OB=1，∠AOB=90º，AB=√2，
作OD⊥AB于D，则OD=(√2)/2，利用两点距离公式易得EF=(√2)(a+b+1)
三角形EOF的面积=(1/2)OD·EF=(1/2)(a+b-1)
2.在△AOF与△BEO中，∠FAO=45º=∠EBO
∵AM=1-a,∴AE=(1-a)√2，BE=√2-(1-a)√2=(√2)a
类似可得 AF=(√2)b
∴AF:BO=(√2)b:1=1:(√2)a=AO:BE
∴ △AOF∽△BEO
3.∵∠BEO是△AEO的外角，∴∠BEO=∠EAO+∠AOE=45º+∠AOE
∵ △AOF∽△BEO ∴∠AOF=∠BEO
∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=∠BEO-∠AOE=45º
就是说，△OEF中，∠EOF大小不变，始终等于45º。

Answer 2

解：（1）由题意知：A（1，0），B（0，1）；
则：OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，△BNE、△EMA为等腰直角三角形；
∴BN=NF=1-b，EM=MA=1-a，即E（a，1-a），F（1-b，b）；
S△EOF=S△AOF-S△AOE=
1
2
×1×[b-（1-a）]=
1
2
（a+b-1）．

（2）已知：B（0，1）、E（a，1-a）、F（1-b，b）；
则PF=PN-FN=a-（1-b）=a+b-1，PE=PM-EM=1-a-b，
在直角三角形PEF中，根据勾股定理得：EF=
(1-b-a)2+(b-1+a)2
=
2
（a+b-1），
同理：OE=
a2+(1-a)2
=
2a2-2a+1
，BE=
a2+(1-a-1)2
=
2
a；
因此：OE2=2a2-2a+1，EF•BE=2a（a+b-1）=2a2-2a+2ab；
由于点P在反比例函数的图象上，那么：2ab=1，
即：EF•BF=2a2-2a+2ab=2a2-2a+1=OE2；
又由∠OEF=∠BEO，
∴△OEF∽△BEO．

（3）由（2）知：△OEF∽△BEO，则∠EOF=∠OBE=45°，
因此无论点P在第一象限怎样移动，∠EOF的度数都是一个定值．

Answer 3

容易求得A（1,0），B（0,1）
∵P(a,b)在y=(1/2)x上，∴2ab=1,于是(√2)b:1=1:(√2)a
1.显然有E（a,1-a),F（1-b，b)
∵△ABO中，OA=OB=1，∠AOB=90º，AB=√2，
作OD⊥AB于D，则OD=(√2)/2，利用两点距离公式易得EF=(√2)(a+b+1)
三角形EOF的面积=(1/2)OD·EF=(1/2)(a+b-1)
2.在△AOF与△BEO中，∠FAO=45º=∠EBO
∵AM=1-a,∴AE=(1-a)√2，BE=√2-(1-a)√2=(√2)a
类似可得 AF=(√2)b
∴AF:BO=(√2)b:1=1:(√2)a=AO:BE
∴ △AOF∽△BEO
3.∵∠BEO是△AEO的外角，∴∠BEO=∠EAO+∠AOE=45º+∠AOE
∵ △AOF∽△BEO ∴∠AOF=∠BEO
∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=∠BEO-∠AOE=45º
就是说，△OEF中，∠EOF大小不变，始终等于45º。