Question

设数列an满足a1=2,a(n+1)=λan+2^n

求是否存在λ使an为等差数列，若有，求an通项公式,没有,说理由

设λ=1 bn=(4n-7)/an 数列bn前n项和为Sn,求满足Sn＞0的最小自然数n值

Answer 1

解：
(1)假设an为等差数列，
an=a1+(n-1)d=2+(n-1)d
d为公差
由a(n+1)=λan+2^n知
2+nd=2λ+(n-1)λd+2^n
即2-2λ+λd=n(λ-1)d+2^n
不能恒成立。
故an不为等差数列，

(2)设λ=1，则a(n+1)=an+2^n
两边减去2^(n+1)
得 a(n+1)-2^(n+1)=an-2^n
有 an-2^n=a1-2^1=2-2=0
所以，an=2^n
bn=(4n-7)/an=(4n-7)/2^n
Sn=(-3)/2+(1)/2^2+(5)/2^3+…… +(4n-7)/2^n
2Sn=(-3)+(1)/2+(5)/2^2+…… +(4n-7)/2^(n-1)
两式 相减得到
Sn=-3+4[1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-1)]-(4n-7)/2^n
=-3+4(1-1/2^(n-1))-(4n-7)/2^n
=1-(1+4n)/2^n
s1=-3/2
s2=-5/4
s3=-5/8
s4=-1/16
s5=11/32
所以满足Sn＞0的最小自然数n值为5