Question

一道可降阶的二阶微分方程!带更号怎么解啊!!!

设y'=p , 然后转化后得到 p^2=4y^(1/2)+C 然后就不会了。。。

Answer 1

y''y^(1/2)=1
两边平方得
y(y'')^2=1
两边求导得
y'(y'')^2+2yy''y'''=0
y''(y'y''+2yy''')=0
y''=0或y'y''+2yy'''=0
y''=0
y=C1x+C2
y'y''+2yy'''=0
y'''/y''=-1/2*y'/y
y=Ce^(-1/2x)
所以，y=Ce^(-1/2x)+C1x+C2
这个题目我最后解y'y''+2yy'''=0解的不对，晚上再向你请教下专家。其他的答案都是扯谈，与答案根本不沾边。还有这个题目如果有初始条件，相对会好一点，但不影响解题思路。我这个思路是正确的思路。
后面这个y'y''+2yy'''=0
(lny'')'=-1/2 (lny)'
即lny''=-1/2 lny+lnC
y''=C/√y
又回去了，说明前面解的应该是增根。
换另一种思路：
设y'=p
p^2=4y^(1/2)+C
y'=±√(4y^(1/2)+C)
分离变量法
dy/√(4y^(1/2)+C)=±dx
∫dy/√(4y^(1/2)+C)=±∫dx
左边令y=t^2
∫2tdt/√(4t+C)=±x+C1
1/2∫(4t+C)-Cdt/√(4t+C)=±x+C1
1/2∫√(4t+C)dt-Cdt/√(4t+C)=±x+C1
应该可以积出来的了

Answer 2

积分：
y'=2y^(1/2)+c
再积分：
y=(4/3)y^(3/2)+c

Answer 3

如果是求通解，接下来无法求出，因为出现的不定积分的结果不是初等函数。如果是求特解，通过初始条件可以确定C＝0的话，计算简单些。