Question

若关于x的方程x^2+1/x^2+a(x+1/x)+b=0有实数根，求a^2+b^2的最小值

要详细过程
答案是4/5

Answer 1

解：原式即(x+1/x)²+a(x+1/x)+b-2=0
亦即(x+1/x)a+b+[(x+1/x)²-2]=0，
设t=x+1/x，则ta+b+(t²-2)=0，且|t|≥2
把a、b看成自变量和因变量，上式即表示一条直线l
(相当于直角坐标系里a、b分别是横、竖轴)
则原点到直线l上任意一点(a,b)的距离为√(a²+b²)
而由点到直线距离公式得d=|t²-2|/√(t²+1)
故a²+b²=(t²-2)²/(t²+1)
=[(t²+1)²+9-6(t²+1)]/(t²+1)=(t²+1)+[9/(t²+1)]-6
因为t²+1≥5＞3，故由对钩函数性质知a²+b²≥5+(9/5)-6=4/5