Question

求数学高手解答一道令我十分纠结的题

已知a，b，c都大于0小于1。求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不可能都大于四分之一。
答案里采用了反证法，先是分别设了三个数都大于四分之一，(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞1/64；最大的问题是——答案里接下来又说∵a，b，c∈（0，1），∴(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤1/64。
这是怎么回事？

Answer 1

{根号[(1-a)b]+根号[(1-b)c]+根号[(1-c)a]}^2
<=(1-a+1-b+1-c)(a+b+c) (柯西不等式）
设x=a+b+c =>0<x<3
(3-x)x=-(x-3/2)^2+9/4<=9/4
=>{根号[(1-a)b]+根号[(1-b)c]+根号[(1-c)a]}^2<=9/4
=>{根号[(1-a)b]+根号[(1-b)c]+根号[(1-c)a]}<=3/2
=>{根号[(1-a)b],根号[(1-b)c],根号[(1-c)a]} 不可能同时大于1/2，否则和大于3/2.
=>（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于1/2的平方暨四分之一

Answer 2

均值不等式 a+b>=2√ab
ab<=[(a+b)/2]^2

故
(1-a)a<=[(1-a+a)/2]^2=1/4
同理
(1-b)b<=1/4，(1-c)c<=1/4
三式相乘即得 (1-a)b(1-b)c(1-c)a≤1/64。

希望对你有所帮助。

Answer 3

设假设不成立，即都大于1/4，三个相乘有abc*(1-a)*(1-b)*(1-c)则大于1/64
a*(1-a)小于或者等于1/4
b*(1-b)小于等于1/4
c*(1-c)小于等于1/4
相乘有abc*(1-a)*(1-b)*(1-c)小于等于1/64,与假设得到的结论矛盾。
所以假设不成立。

Answer 4

是的