Question

已知f(x)=ax-ln(-x),g(x)=-ln(-x)/x,x∈[-e,0)，a∈R

(1)若a=-1求f(x)的单调区间和极值
(2)求证：在（1）的条件下，|f(x)|>g(x)+1/2
（3）是否存在是实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）∵f（x）=-x-ln（-x） f‘（x）=-1-1/x=-(x+1)/x
当-e≤x＜-1时，f′（x）＜0，此时f（x）为单调递减
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，此时f（x）为单调递增
∴f（x）的极小值为f（-1）=1

（2）∵f（x）的极小值，即f（x）在[-e，0）的最小值为1
|f（x）|min=1
令h(x)=g(x)+1/2=-[ln(-x)]/x+1/2
又∵ h'(x)=ln(-x-1)/x^2
当-e≤x＜0时h′（x）≤0，h（x）在[-e，0）上单调递减
∴ h(x)max=h(-e)=1/e+1/2<1/2+1/2=1=|f（x）|min
∴当x∈[-e，0）时，|f（x）|>g(x)+1/2

（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-ln（-x）有最小值3，x∈[-e，0）f'(x)=a-1/x
①当a>=-1/e 时，由于x∈[-e，0），则f'(x)=a-1/x>=0
∴函数f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函数
∴f（x）min=f（-e）=-ae-1=3
解得a=-4/e （舍去）
②当a<-1/e 时，则当-e<=x<1/a 时， f'(x)=a-1/x<0
此时f（x）=ax-ln（-x）是减函数
当1/a<x<0 时， f'(x)=a-1/x>0 ，此时f（x）=ax-ln（-x）是增函数
∴f(x)min=f(1/a)=3
解得a=-e^2