Question

已知函数 f(x)= lnx - ax^2 + (2-a)x (a>0)

Answer 1

已知函数 f(x)= lnx - ax^2 + (2-a)x (a>0)
I. 求 f(x) 的单调区间
II.证明: 当 0<x<1/a 时 , f(1/a+x) > f(1/a-x)
III. 若函数y=f(x)的图像交x轴于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0, 证明: f ' (x0)<0

解：
1）定义域x>0
f'(x)=1/x-2ax+2-a=-a(x-1/a)(2x+1)/x
令f'(x)>0,得f(x)增区间(0,1/a)
令f'(x)<0,得f(x)减区间(1/a,+oo)
2）记g(x)=f(1/a+x)-f(1/a-x)
化解可得
g(x)=ln[(1+ax)/(1-ax)]-2ax
其中0<x<1/a或0<ax<1
求导易得
g'(x)=(ax)^2/[1-(ax)^2]>0
知g(x)为(0,1/a)上单调增加函数,则有
g(x)>(x->0)limg(x)=0
即g(x)=f(1/a+x)-f(1/a-x)>0,移项即得证.
3）反证法
设A(x1,0),B(x2,0),中点M(xo,yo)
这里不妨取0<x1<x2,并假设f'(xo)>=0......(*)
依题有:
lnx1-ax1^2+(2-a)x1=0......(1)
lnx2-ax2^2+(2-a)x2=0......(2)
f'(xo)=1/xo-2axo+(2-a)>=0......(3)
x1+x2=2xo......(4)
联立(1)~(4)消去a有
2(x2-x1)/(x1+x2)-ln(x2/x1)>=0
即 2[(x2/x1)-1]/[1+(x2/x1)]-ln(x2/x1)>=0......(**)
记x2/x1=t>1
并引入函数
h(t)=2(t-1)/(t+1)-lnt,t>1
求导易得
h'(t)=-(t-1)^2/[t(t+1)^2]<0
知h(t)在t>1上单调减少,又h(t)可在t=1处连续,则
h(t)<h(1)=0,t>1
即　2[(x2/x1)-1]/[1+(x2/x1)]-ln(x2/x1)<0......(***)
显然(**)与(***)矛盾
因此假设(*)不成立,进而原命题成立,即f'(xo)<0得证.