求证:[(n+1)!]^2>(n+1)e^{n-1},n是正整数。
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归纳法n=1成立
设n=k成立
[(k+1!]^2>(k+1)e^(k-1)
下证n=k+1成立
[(k+2)!]^2=[(k+1)!]^2(k+2)^2
>(k+1)(k+2)^2e^(k-1)
因为k>1
=>(k+1)(k+2)>e
所以[(k+2)!]^2=[(k+1)!]^2(k+2)^2
>(k+1)(k+2)^2e^(k-1)
>e(k+2)e^(k-1)=(k+2)e^k
设n=k成立
[(k+1!]^2>(k+1)e^(k-1)
下证n=k+1成立
[(k+2)!]^2=[(k+1)!]^2(k+2)^2
>(k+1)(k+2)^2e^(k-1)
因为k>1
=>(k+1)(k+2)>e
所以[(k+2)!]^2=[(k+1)!]^2(k+2)^2
>(k+1)(k+2)^2e^(k-1)
>e(k+2)e^(k-1)=(k+2)e^k
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