Question

设0<α<π，-π<β<0，tanα=-1/3，sinβ=-根号2/10,求2α+β的值。 要求详细解答！谢谢！

Answer 1

0<α<π tanα=-1/3<0 所以 π/2<α<π π<2α<2π
tan2α=2tanα/(1-tanα^2)=-3/4<0 则 3π/2<2α<2π
-π<β<0 sinβ一定小于0 而cosβ可能大于0，也可能小于0
① cosβ>0 -π/2<β<0 cosβ=√(1-2/100)=7√2/10 tanβ=-1/7
tan(2α+β)=(tan2α+tanβ)/(1-tan2α*tanβ)=-1<0
因为3π/2<2α<2π -π/2<β<0 所以π<2α+β<2π 则2α+β=7π/4
② cosβ<0 -π<β<-π/2 cosβ=-√(1-2/100)=-7√2/10 tanβ=1/7
tan(2α+β)=(tan2α+tanβ)/(1-tan2α*tanβ)=-17/31<0
因为3π/2<2α<2π -π<β< -π/2 所以π/2<2α+β<3π/2 则2α+β=π-arctan17/31

追问

您好！我有一点不明白的是最后一步为什么2α+β=π-arctan17/31，而不是直接2α+β=arctan17/31 ？谢谢！

追答

arctanX 这个数值的范围为（-π/2，π/2），我不记得包不包含±π/2，望查证

追问

您好！为什么取值范围是（-π/2，π/2）就要π-arctan17/31 ？谢谢！

追答

额，……这位同学，你的三角函数有这么不行吗？？
tanx为奇函数，又是以π为周期的周期函数
所以tanx=A 所以tan(x-kπ)=A x=arctanX+kπ ，k为整数
tanx=A tan(-x)=-tanx=-A
对于这一题：
tan(2α+β)=-17/31 π/2<2α+β<3π/2 -π/2<2α+β-π<π/2
2α+β-π=-arctan17/31
2α+β=π-arctan17/31

Answer 2

由sinβ=-√2/10 得：β=-8.13°
∴ -π/2＜β＜0
cosβ=√(1-sin^2β)=7√2/10。 【-π/2<β<0,cosβ>0】
tanβ=sinβ/cosβ=-1/7.
tan2α=2tanα/(1-tan^2α).
=2(-1/3)/(1-1/9).
=-√2/2.
tan(2α+β)=(tan2α+tanβ)/(1-tan2α*tanβ).
=[(-√2/2+(-1/7)]/(1-(-√2/2)*(-1/7)]
化简得：
tan(2α+β)=-11.8995/12.5858.
≈-43.39°
∴ 2α+β≈k180°-43.39°.