Question

线性相关线性无关的一道题

向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则：(A)α必可由β，γ，δ线性表示（C）δ必可由α，β，γ线性表示，为何选C不选A？不能α=k1β+k2δ+0γ？

Answer 1

由 α，β，γ线性无关
所以 α，β 线性无关 (*) [整体无关则部分无关]
而α，β，δ线性相关 (**)
由(*),(**)知 δ 必可由 α，β 线性表示,
所以 δ 必可由 α，β，γ 线性表示

注: 一个向量可由向量组中其余向量线性表示, 前提是这个向量组线性相关
但线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示
但当其余向量线性无关时, 这个向量必可由其余向量线性表示.

追问

线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示

我想到这点了，但是感觉不对呀，线性相关肯定得至少有一个向量肯定可由其他向量线性表示，那就肯定任意向量也可由其它向量线性表示，而且线性相关的定义是不全为零的一组数K1K2K3，那我这个α=k1β+k2δ+0γ也没错吧

另外很感谢您的回答

追答

线性相关肯定得至少有一个向量肯定可由其他向量线性表示，
正确

那就肯定任意向量也可由其它向量线性表示
错

给你个例子看看哈
α=(1,0,0), β=(0,1,0), γ=(0,0,1), δ=(0,3,0)
满足向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关
但α不能由β，δ线性表示