Question

设函数y=f(x)是定义在(0,正无穷)上的单调函数,且f(x/y)=f(x)-f(y)

(1)求f(1)
(2)求证f(xy)=f(x)+f(y)
(3)若f(2)=1,解不等式f(x)-f(1/(x-3))小于等于2

Answer 1

（1）、f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0
（2）、f(xy)=f[x/(1/y)]=f(x)-f(1/y)
f(1/y)=f(1)-f(y)=-f(y)
∴f(xy)=f(x)+f(y)
（3）、∵f(2)=1
∴f(4)=f(2*2)=2*f(2)=2
∵y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数
不妨设x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2
则f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>f(1)=0
∴y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数
∵f(x)-f(1/(x-3))≤2
∴x(x-3)≤4
∴(x+1)(x-4)≤0
解得x∈[-1,4]

追问

y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数
为什么是增函数?

追答

咱们再来看一下过程，理清思绪……
首先，我是这样说的：∵y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数（这是题目大前提）
然后，我的做法是：不妨设x1,x2∈(0,+∞)，且x10
那么，既然f(x)是单调的，x2>x1时，f(x2)>f(x1)
所以，我们可以毫不犹豫地立马得出结论（病句）：y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数

Answer 2

(1)令x=y，则f(x/y)=f(x/x)=f(1)
又f(x)-f(y)=f(x)-f(x)=0
所以f(1)=0

(2)f(xy)=f(x/y分之一)=f(x)-(y分之一）
又f(y分之一）=f(1/y)=f(1)-f(y)=0-f(y)=-f(y)
所以f(xy)=f(x)-(y分之一)=f(x)+f(y)

(3)f（x/y)=f(x)-f(y),令x=4,y=2得：
f(2)=f(4)-f(2), 所以f(4)=2f(2)=2.
不等式f(x)-f（1/(x-3)）≤2可化为：
f(x(x-3)) ≤f(4),
因为f（x）是（0，+∞）上的增函数，
所以x>0,x-3>0, x(x-3) ≤4.
解得：3<x≤4.
不等式解集为{x|3<x≤4}

追问

x(x-3) ≤4解下来貌似不是3<x≤4.