Question

已知a,b,c为正数，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=4

Answer 1

证明：
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1+(a+b)/c
=3+b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a

∵3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a≥3+2√(b/c*c/b)+2√(a/c*c/a)+2√(b/a*a/b)=3+2+2+2=9
∴原式≥9，也就≥4

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

Answer 2

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=1+1+1+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)>=3+2+2+2=9

Answer 3

将不等式左边全部展开 = 3+（a/b+b/a）+（a/c+c/a）+（b/c+c/b）
根据基本不等式，三个括号里的值分别都 >=2
故不等式左边的值>=9
所以左边>=4 故不等式成立