Question

已知函数f(x)=X+a/X（a属于R）,g(X)=InX

1、求函数F(X)=f（x）+g（x）的单调区间
2、若关于X的方程g（x）/X^2=f(X)-2e（e为自然数底数）只有一个实数根，求a的值。
（要很详细的解答，有些转换最好简单说明为什么，谢谢啊！！！）

Answer 1

∵F(X)=f(X)+g(X)=X+a/X+InX(X>0)
∴F'(X)=1-a/X^2+1/X
令F'(X)=0，1/X=t(t>0)
则-at^2+t+1=0，t1=[-1-√(1+4a)]/(-2a)，t2=[-1+√(1+4a)]/(-2a)
①若1+4a≤0且a≠0，a≤-1/4，则F'(X)≤0，F(X)于(0,+∞)单调递减
②若1+4a≥0且a≠0，a≥-1/4，假设t1≤0，t2≥0时，即[-1-√(1+4a)]/(-2a)≤0，[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0
当a∈(-1/4,0)时，t1≤0恒成立，[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0 => 1+4a≥1 => a≥0不成立
当a∈(0,+∞)时，t1≤0恒不成立，[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0 => a≤0亦不成立
∴a∈(-1/4,0)时，t1,t2≤0；a∈(0,+∞)时，t1>0,t2<0
③若a=0，则F'(X)=1+1/X>0恒成立(X>0)，F(X)于(0,+∞)单调递增
综上，a∈(-∞,0)时，F(X)于(0,+∞)单调递减
a=0时，F(X)于(0,+∞)单调递增
a∈(0,+∞)，F(X)于(0,(-2a)/[-1-√(1+4a)])单调递增，于((-2a)/[-1-√(1+4a)],+∞)单调递减

追问

为什么∵F(X)=f(X)+g(X)=X+a/X+InX(X>0)
∴F'(X)=1-a/X^2+1/X

追答

首先，你是几年级？有没有学过导数？
这个F'(X)加多这一“'”之后就表示F(X)的导数
导数部分运算法则：[x]'=1,[x^n]'=n*x^(n-1),[lnx]'=1/x
1/x=x^(-1),∴[1/x]'=-1/x^2

追问

高一。。没有学过。。这是必修几的？还是选修几的？我去看看

追答

这个……选修4的？……我貌似忘记了……是导数与函数那一章，你去看看辅导书也可以，辅导书有目录，找的快