已知函数f(x)=X+a/X(a属于R),g(X)=InX
1、求函数F(X)=f(x)+g(x)的单调区间2、若关于X的方程g(x)/X^2=f(X)-2e(e为自然数底数)只有一个实数根,求a的值。(要很详细的解答,有些转换最...
1、求函数F(X)=f(x)+g(x)的单调区间
2、若关于X的方程g(x)/X^2=f(X)-2e(e为自然数底数)只有一个实数根,求a的值。
(要很详细的解答,有些转换最好简单说明为什么,谢谢啊!!!) 展开
2、若关于X的方程g(x)/X^2=f(X)-2e(e为自然数底数)只有一个实数根,求a的值。
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1个回答
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∵F(X)=f(X)+g(X)=X+a/X+InX(X>0)
∴F'(X)=1-a/X^2+1/X
令F'(X)=0,1/X=t(t>0)
则-at^2+t+1=0,t1=[-1-√(1+4a)]/(-2a),t2=[-1+√(1+4a)]/(-2a)
①若1+4a≤0且a≠0,a≤-1/4,则F'(X)≤0,F(X)于(0,+∞)单调递减
②若1+4a≥0且a≠0,a≥-1/4,假设t1≤0,t2≥0时,即[-1-√(1+4a)]/(-2a)≤0,[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0
当a∈(-1/4,0)时,t1≤0恒成立,[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0 => 1+4a≥1 => a≥0不成立
当a∈(0,+∞)时,t1≤0恒不成立,[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0 => a≤0亦不成立
∴a∈(-1/4,0)时,t1,t2≤0;a∈(0,+∞)时,t1>0,t2<0
③若a=0,则F'(X)=1+1/X>0恒成立(X>0),F(X)于(0,+∞)单调递增
综上,a∈(-∞,0)时,F(X)于(0,+∞)单调递减
a=0时,F(X)于(0,+∞)单调递增
a∈(0,+∞),F(X)于(0,(-2a)/[-1-√(1+4a)])单调递增,于((-2a)/[-1-√(1+4a)],+∞)单调递减
∴F'(X)=1-a/X^2+1/X
令F'(X)=0,1/X=t(t>0)
则-at^2+t+1=0,t1=[-1-√(1+4a)]/(-2a),t2=[-1+√(1+4a)]/(-2a)
①若1+4a≤0且a≠0,a≤-1/4,则F'(X)≤0,F(X)于(0,+∞)单调递减
②若1+4a≥0且a≠0,a≥-1/4,假设t1≤0,t2≥0时,即[-1-√(1+4a)]/(-2a)≤0,[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0
当a∈(-1/4,0)时,t1≤0恒成立,[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0 => 1+4a≥1 => a≥0不成立
当a∈(0,+∞)时,t1≤0恒不成立,[-1+√(1+4a)]/(-2a)≥0 => a≤0亦不成立
∴a∈(-1/4,0)时,t1,t2≤0;a∈(0,+∞)时,t1>0,t2<0
③若a=0,则F'(X)=1+1/X>0恒成立(X>0),F(X)于(0,+∞)单调递增
综上,a∈(-∞,0)时,F(X)于(0,+∞)单调递减
a=0时,F(X)于(0,+∞)单调递增
a∈(0,+∞),F(X)于(0,(-2a)/[-1-√(1+4a)])单调递增,于((-2a)/[-1-√(1+4a)],+∞)单调递减
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追问
为什么∵F(X)=f(X)+g(X)=X+a/X+InX(X>0)
∴F'(X)=1-a/X^2+1/X
追答
首先,你是几年级?有没有学过导数?
这个F'(X)加多这一“'”之后就表示F(X)的导数
导数部分运算法则:[x]'=1,[x^n]'=n*x^(n-1),[lnx]'=1/x
1/x=x^(-1),∴[1/x]'=-1/x^2
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