Question

设a为实数，函数f(x）=x|x-a|.当0≤X≤1时，求f(X)的最大值

Answer 1

解：当 a≤0时，f(x)=x(x-a) 对称轴x=a/2，由a/2≤0,所以f(x)max=f(1)=1-a，

当0<a<1时，
若x<a，f(x)= x(a-x)，对称轴x=a/2，故f(x)max=f(a/2)=a²/4；
若x≥a，f(x)= x(x-a)，对称轴x=a/2，故0<a/2<1/2，故f(x)max=f(1)=1-a ，
现在比较a²/4和1-a的大小，由a²/4-(1-a) ≥0，得a≥-2+2√2，或a≤-2-2√2，
①当0<a<-2+2√2时，f(x)max=1-a.
②当-2+2√2≤a<1时，f(x)max=a²/4;

当 a≥1时，f(x)=x(a-x) ，对称轴x=a/2，
①若1≤a≤2时，f(x)max=f(a/2)=a/2 ·(a/2)=a²/4，
②若a>2时，f(x)max=f(1)=a-1，

综上，当a<-2+2√2时，f(x)max=f(1)=1-a，
当-2+2√2≤a≤2时，f(x)max=f(a/2)=a²/4，
当a>2时，f(x)max=f(1)=a-1

Answer 2

综上，当a<-2+2√2时，f(x)max=f(1)=1-a，
当-2+2√2≤a≤2时，f(x)max=f(a/2)=a²/4，
当a>2时，f(x)max=f(1)=a-1