Question

方程x^5-5x^2-lgx=0在区间(1,10)内实数解个数?

有一种做法是说找f(x)=x^5-5x^2-lgx在(1,10)上的单调性，可是应该怎么确定它的的单调性，画图很麻烦啊。如果有什么更好的办法，求赐教啊！！！

Answer 1

y=x^5-5x^2

y'=5x^4-10x=0

x=0,x=三次根号2（三重根）

当x<0时y'＞0，当0<x<三次根号2时，y'＜0，说明x=0是极值点

当x>三次根号2时，y'>0，说明x=三次根号2是极小值点

当x=三次根号2时，y=2^(5/3)-5*2^(2/3)<0

因此，x^5-5x^2-lgx=0在区间(1,10)内有且仅有两个解。

Answer 2

求导
y'=5x^4-10x=0
x=0,x=三次根号2（三重根）
当x<0时y'＞0，当0<x<三次根号2时，y'＜0，说明x=0是极值点
当x>三次根号2时，y'>0，说明x=三次根号2是极小值点
当x=三次根号2时，y=2^(5/3)-5*2^(2/3)<0
x^5-5x^2-lgx=0在区间(1,10)内有且仅有两个解。

Answer 3

解：移向得x^5-5x^2=lgx
设g(x)=x^5-5x^2 f(x)=lgx
将个g(x)求导得5x^4-10x,令g(x)=0求出极值点0和三次根号下2
然后分别画出g(x)和f(x)的图像在（1,10）的交点个数，即实数解的个数
即有一个实数解。