如图，AC=AD,BC=BD,AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线
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因为AC=AD, BC=BD
所以三角形ACD和三角形BCD均为等腰三角形
所以角ACD=角ADC, 角BCD=角BDC
所以角ACD+角BCD=角ADC+角BDC
即角ACB=角ADC
三角形ACB和三角形ADB中，AC=AD, 角ACB=角ADB, BC=BC
所以三角形ACB和三角形ADB全等，则角CAB=角DAB，即AE平分角CAD
在等腰三角形ACD中，角平分线与此角对边的垂直平分线重合，所以AE垂直平分CD
同理，BE垂直平分CD
所以AB垂直平分CD
所以三角形ACD和三角形BCD均为等腰三角形
所以角ACD=角ADC, 角BCD=角BDC
所以角ACD+角BCD=角ADC+角BDC
即角ACB=角ADC
三角形ACB和三角形ADB中，AC=AD, 角ACB=角ADB, BC=BC
所以三角形ACB和三角形ADB全等，则角CAB=角DAB，即AE平分角CAD
在等腰三角形ACD中，角平分线与此角对边的垂直平分线重合，所以AE垂直平分CD
同理，BE垂直平分CD
所以AB垂直平分CD
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证明：因为AC=AD
所以A在线段CD的垂直平分线上
又因为BC=BD
所以B在线段CD的垂直平分线上
所以直线AB是线段CD的垂直平分线
所以A在线段CD的垂直平分线上
又因为BC=BD
所以B在线段CD的垂直平分线上
所以直线AB是线段CD的垂直平分线
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