Question

y=﹙x²-2x+3﹚／﹙x²+2x+3﹚的值域是多少

Answer 1

方法一：
∵y＝（x^2－2x＋3）/（x^2＋2x＋3），
∴yx^2＋2yx＋3y＝x^2－2x＋3，∴（y－1）x^2＋2（y＋1）x＋3y－3＝0，
要确保x取得实数，就需要：［2（y＋1）］^2－4（y－1）（3y－3）≥0，
∴（y＋1）^2－3（y－1）^2≥0，∴［（y＋1）＋√3（y－1）］［（y＋1）－√3（y－1）］≥0，
∴［（1＋√3）y＋（1－√3）］［（1－√3）y＋（1＋√3）］≥0
∴［（√3＋1）y－（√3－1）］［（√3－1）y－（√3＋1）］≤0，
∴（√3－1）/（√3＋1）≤y≤（√3＋1）/（√3－1）
∴（3－2√3＋1）/（3－1）≤y≤（3＋2√3＋1）/（3－1）
∴2－√3≤y≤2＋√3。
即：原函数的值域是［2－√3，2＋√3］。

方法二：
一、当x＝0时，y＝1。
当x≠0时，
∵y＝（x^2－2x＋3）/（x^2＋2x＋3）＝（x＋3/x－2）/（x＋3/x＋2）
∴令x＋3/x＝k，得：y＝（k－2）/（k＋2），∴y（k＋2）＝k－2，∴yk＋2y＝k－2，
∴（y－1）k＝－2y－2，∴k＝（2y＋2）/（1－y）。

二、当x＞0时，k＝x＋3/x≥2√3，∴（2y＋2）/（1－y）≥2√3，∴（y＋1）/（1－y）≥√3，
　　∴（y＋1－√3＋√3y）/（1－y）≥0，
　　等价于：①y＋1－√3＋√3y≥0，且1－y＞0，②y＋1－√3＋√3y≤0，且1－y＜0。
　　
　　由y＋1－√3＋√3y≥0，且1－y＞0，得：y≥（√3－1）/（√3＋1），且y＜1，
　　即：（√3－1）/（√3＋1）≤y＜1。也即：2－√3≤y＜1。
　　由y＋1－√3＋√3y≤0，且1－y＜0，得：y≤（√3－1）/（√3＋1），且y＞1，不合理，舍去。

三、当x＜0时，－k＝（－x）＋3/（－x）≥2√3，∴－（2y＋2）/（1－y）≥2√3，
　　（y＋1）/（1－y）≤－√3，∴（y＋1＋√3－√3y）/（1－y）≤0，
　　等价于：①y＋1＋√3－√3y≥0，且1－y＜0，②y＋1＋√3－√3y≤0，且1－y＞0。
　　
　　由y＋1＋√3－√3y≥0，且1－y＜0，得：y≤（√3＋1）/（√3－1），且y＞1，
即：1＜y≤（√3＋1）/（√3－1）＝2＋√3。　　
　　由y＋1＋√3－√3y≤0，且1－y＞0，得：y≥（√3＋1）/（√3－1），且y＜1，不合理，舍去。

综上一、二、三所述，y的取值范围是［2－√3，2＋√3］。
即：原函数的值域是［2－√3，2＋√3］。

Answer 2

y=[(x＋1)²－4(x＋1)＋6]/[(x＋1)²＋2]
=1＋4[1－(x＋1)]/[(x＋1)²＋2] ========换元，设x＋1=t
y=1－4[t－1]/[t²＋2]
至此，只要解决M=(t－1)/(t²＋2)的值域即可
M=(t－1)/[(t－1)²＋2(t－1)＋3]
=1/[(t－1)＋3/(t－1)＋2]
这样的话，只要确定(t－1)＋3/(t－1)的范围即可，这个是可以利用基本不等式来解决的。