Question

设a为实数，函数f(x)=2x²+（x-a）绝对值x-a，求f(x)的最小值

绝对值打不出来…… 就是（x-a）乘以x-a的绝对值

Answer 1

这种题要分段讨论
当x=a
f(x)=2x²=2a²

当x>=a
f(x)=2x²+（x-a）|x-a|=2x²+(x-a)²=3x²-2ax+a²
对称轴为x=a/3
如果a>=0，当x=a时f(x)取最小值为2a²
如果a<0，当x=a/3时f(x)取最小值为2a²/3

当x<=a
f(x)=2x²+（x-a）|x-a|=2x²-(x-a)^2=x²+2ax-a²
对称轴为x=-a,
如果a>=0，当x=-a时f(x)取最小值为-2a²
如果a<0，当x=a时f(x)取最小值为2a²

综合以上
如果a>=0，当x=-a时f(x)取最小值为-2a²
如果a<=0，当x=a/3时f(x)取最小值为2a²/3

Answer 2

(1)x>=a时,f(x)=2x²+（x-a)²=3x²-2ax+a²,对称轴为x=a/3
x>a/3时单调递增,故最小值为f(a)=2a²
(2)x<a时,f(x)=2x²-(x-a)²=x²+2ax-a²,对称轴为x=-a,此处对应f(x)最小值
故最小值为f(-a)=-a²