Question

等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点 连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F

等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点 连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F。
（1）证明：∠CAE=∠CBF
(2)证明：AE=BF
(3)以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合与点G），记△ABC和△ABG的面积分别为面积△ABC和△ABG，如果存在点P，使得面积△ABC和△ABG，求∠ACB的取值范围。

Answer 1

（1）.∵CA＝CB,
CH⊥AB,
∴∠ACH＝∠BCH,
在△ACP和△BCP中，
CA＝CB,
∠ACH＝∠BCH
CP=CP，
∴△ACP≌△BCP，
∴∠CAE＝∠CBF。

Answer 2

（1）.∵CA＝CB,
CH⊥AB,
∴∠ACH＝∠BCH,
在△ACP和△BCP中，
CA＝CB,
∠ACH＝∠BCH
CP=CP，
∴△ACP≌△BCP，
∴∠CAE＝∠CBF。
(2) 在△ACE和△BCF中
∠CAE＝∠CBF
AC=AB
∠ACE=∠BCF
∴△ACE≌△BCF
∴AE=BF
(3)解：因为ΔABC为等腰三角形，所以过高线CH上点P所作出的PE=PF。要使以AB（实际上为底边），PE=PF情况下作出的三角形面积和原三角形面积相同，必须满足PE=PF=AC=BC。即∠C=∠CFB=∠CEA
因为P点不与端点重合,所以，∠PAF>0，∠PAH>0
即∠PAF=180-2∠C>0和（由∠C+∠C/2=∠PAH+90°=∠CPA推得）3∠C/2-90°>0
∴ 可得到∠C<90°和60°∠C
即60°<∠C<90°

Answer 3

在△ACP和△BCP中：由边角边得知其全等，所以有∠CAP=∠CBP, 即∠CAE=∠CBF
所以：在△ACE和△BCF中，由角边角得知其全等，有AE=BF
如果满足S△ABC=S△ABG，必有：AE=BF=AC=BC
要保证AE=BF=AC=BC成立，
必有：0°＜∠FCE=∠PEC=∠PFC＜180° （等腰三角形的底角变化范围）
所以：∠ACB的取值范围是在0°和180°之间。
由于：E、F两点分别在线段AC、BC上，
所以：∠ACB的取值范围是在60°和90°之间。
即：
（1）当∠ACB=60°时，E点与B点重合，F点与A点重合
（2）当∠ACB＜60°时，E点在CB的延长线上，F点在CA的延长线上
（3）当∠ACB=90°时，E点，F点和C点重合
（4）当∠ACB＞90°时，E点在BC的延长线上，F点在AC的延长线上
（5）当60°＜∠ACB＜90°时，E点在线段AB上，F点在线段AC上

Answer 4

ofv解：只提供第一题图。
1、所求顶角为30°和150°。
如图所示，由题意可知，BC为等腰三角形的一个腰，另一个腰是可以是AB也可以是AC
1.1 当另一腰是AC时，即AC=BC，且AD=BC/2，即 AD=AC/2时，其顶角：
（1）为30°（对边是斜边的一半）。
（2）为150°（因为顶角是角A(C)(D)=30°的补角）
1.2 当另一腰是AB时,所得结果相同。略。
2、∠MPN=100°
对于角ABC内任意一点P,所作的三角形PMN，要使其周长最小的图形是这样得到的：
自P点分别作关于AB和BC轴对称点，得到P1、P2,PP1⊥AB,交点为E,PP2⊥BC,交点为F.连接P1P2交AB、BC于E、N两点，则此时过P向AB、BC所作的ΔPMN周长最短，证明略。
连接BP，令∠PP1M=α,∠PP2N=β
则有，2α+2β+∠MPN=180°(三角形PMN内角和)
α+β+∠MPN+40°+90°+90°=360°(四边形PMBN内角和)
解之有α+β=40°，所以∠MPN=100°

3、60°<∠C<90°
解：因为ΔABC为等腰三角形，所以过高线CH上点P所作出的PE=PF。要使以AB（实际上为底边），PE=PF情况下作出的三角形面积和原三角形面积相同，必须满足PE=PF=AC=BC。即∠C=∠CFB=∠CEA
因为P点不与端点重合,所以，∠PAF>0，∠PAH>0
即∠PAF=180-2∠C>0和（由∠C+∠C/2=∠PAH+90°=∠CPA推得）3∠C/2-90°>0
∴ 可得到∠C<90°和60°∠C
即60°<∠C<90°
4、(1) DE+DF=CG
证明：连接BG
则BG‖AC，BG⊥FG
∴ ∠DBG=∠ACB=∠DBE,又BD为公共边
∴ RtΔBED≌RtΔBGD
∴ DE=DG
∴ DE+DF=DF+DG=FG=CG
(2) 当直角三角尺F在AC上 且不与C重合时，连接BG
同样可以得到ΔBGD为直角三角形且RtΔBED≌RtΔBGD
所以，DE+DF=DG+DF=FG=CGaxx

Answer 5

第一二两题可用三角形全等证因为是等边三角形 所以三线合一 角相等 利用SAS可证全等 报歉下一问不知什么意思