Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC//AD，AB=CD，∠ABC=120°，AD=PA=2AB

点E,F分别在棱PD,PC上，且满足PE/PD=PF/PC=μ∈（0，1）
（1）求证：EF⊥平面PAC
(2)当μ=4/7时，求证：平面AEF⊥平面PCD

Answer 1

提示：根据四边形ABCD是等腰梯形，且∠ABC=60°，不难证明AC⊥CD，
由AP⊥面ABCD得AP⊥CD
所以：由CD分别垂直相交的直线PA,AC，
所以：CD垂直平面PAC
而由：PE/PD=PF/PC=μ∈（0，1）得知EF∥CD
所以：EF⊥面PAC

第二问：由CD⊥面PAC，AF在面PAC内得知AF⊥CD，即AF⊥EF
另外：AC长可求，从而求得PC的长度，所以根据μ=4/7求得PF的长，
从而得出AP²=PF*PC，即△PAF∽△PCA
所以：∠PFA=∠PAC=90°
所以：AF⊥PC
所以：直线AF⊥面PCD
所以：面AEF⊥面PCD