Question

一道高中数学数列题 求解

设数列{An}为前n项和为Sn,数列{Bn}满足Bn=nAn，且数列{Bn}的前n项和为(n-1)Sn+2n
1.求A1,A2的值
2.求证：数列{Sn+2}是等比数列
3.删去数列{An}中的第一项，第四项，第七项......第3n-2项......按照余下的项的顺序，组成一个新数列{Cn}，若{Cn}的前n项和为Tn,求证：12/5≤T(n+1)/Tn≤n/3

Answer 1

s(1)=a(1)=1*a(1)=b(1)={b(n)}的前1项和=(1-1)s(1)+2*1=2.
(n+1)a(n+1)=b(n+1)=ns(n+1)+2(n+1)-(n-1)s(n)-2n=ns(n+1)-(n-1)s(n)+2,
(n+1)[s(n+1)-s(n)]=ns(n+1)-(n-1)s(n)+2,
s(n+1)=2s(n)+2
s(n+1)+2=2[s(n)+2]
{s(n)+2}是首项为s(1)+2=4,公比为2的等比数列.
s(n)+2=4*2^(n-1)=2^(n+1)
s(n)=2^(n+1)-2,
(n+1)a(n+1)=ns(n+1)-(n-1)s(n)+2=n[2^(n+2)-2]-(n-1)[2^(n+1)-2]+2=(n+1)2^(n+1)
a(n+1)=2^(n+1)
a(n)=2^n
a(2)=2^2=4,
c(2n-1)=a(3n-1)=2^(3n-1)=(1/2)8^(n),
c(2n)=a(3n)=8^(n)
t(2n)=[c(1)+c(2)]+...+[c(2n-1)+c(2n)]=(3/2)[8+8^2+...+8^n]=12(8^n-1)/7
t(2n-1)=t(2n)-c(2n)=12(8^n-1)/7-8^n=[5*8^n-12]/7
t(2n)/t(2n-1)=[12*8^n-12]/[5*8^n-12]=[12-12/8^n]/[5-12/8^n],
[12-12/8^n]/[5-12/8^n] - 12/5 = [60-60/8^n-60+144/8^n]/[5(5-12/8^n]=[84/8^n]/[5(5-12/8^n)]>0
[12-12/8^n]/[5-12/8^n] - n/3 = [36-36/8^n-5n+12n/8^n]/[3(5-12/8^n)]
36-36/8^n-5n+12n/8^n=36-5n+(12n-36)/8^n
n=1时,36-5+(12-36)/8=31-3=28>0
t(2)/t(1)>1/3
是欧,t(2)/t(1)>12/5,当然就t(2)/t(1)>1/3啦.题目好像是有问题哈.

追问

是12/5≤T(n+1)/Tn≤11/3
我不小心看成n了。

Answer 2

第3题：
求证：12/5＜T(n＋1)/Tn≤11/3 ？？

看图：
http://hi.baidu.com/wy070135/album/item/d51894fb2d893f535e600866.html#
http://hi.baidu.com/wy070135/album/item/0feee58aea418b98533d9267.html#

追问

对对对 是12/5≤T(n+1)/Tn≤11/3

追答

嗯，解题过程在图上了
自己认真看吧。。

就是按“求证：12/5＜T(n＋1)/Tn≤11/3”写的

Answer 3

1.设数列{Bn}的前n项和为Tn
B1=（1-1）S1+2*1=2
B1=A1=2,又T2=B1+B2=S2+4=A1+A2+4
由方程组B2=2A2;2+B2=2+A2+4;B1=A1=2;得
A2=4.
2.Bn=(n-1)Sn+2n - (n-2)S(n-1)-2(n-1)
=(n-1)An+S(n-1)+2;
Bn=nAn;
得到An=S(n-1)+2
又An=Sn-S(n-1)
所以Sn=2S(n-1)+2
Sn+2=2[S(n-1)+2]
得证
3.由Sn+2=2[S(n-1)+2]
得Sn+2=2*2^n
Sn=2*2^n-2
故An=S(n-1)+2=2^n
C1=2^2,C2=2^3,C3=2^5,C4=2^6,C5=2^8,C6=2^9,......不难观察出
Cn=2^(n+n/2),n为偶数；
Cn=2^[n+（n+1）/2],n为奇数；
题目是不是错了 T2/T1=4+8/4=3，明显大于1/3啊

追问

是12/5≤T(n+1)/Tn≤11/3
我不小心看成n了。

Answer 4

(1)用Sn2-Sn1=A1 Sn3-Sn2=A2
（2）

bn=(n-1)Sn+2n-(n-2)S(n-1)-2(n-1)=(n-1)an+S(n-1)+2

bn=nan

an=S(n-1)+2

Sn=2S(n-1)+2

Sn+2=2(S(n-1)+2)

得证

（3）

b1=a1=(1-1)*S1+2*1

a1=2

Sn=2^(n+1)-2

an=2^n

然后使用放缩法