Question

解关于X的不等式ax^2+(a+1)x+1<0

要详细的解析。

Answer 1

ax^2+(a+1)x+1<0
(ax+1)(x+1)<0
分五种情况讨论
1) 当a<0时 (ax+1)(x+1)<0
a(x+1/a)(x+1)<0
(x+1/a)(x+1)>0
x>-1/a 或x<-1
2)a=0时 化成x+1<0
x<-1
3) 0<a<1 (ax+1)(x+1)<0
a(x+1/a)(x+1)<0
(x+1/a)(x+1)<0
-1/a<x<-1
4)a=1时 （x+1)²<0 无解
5)a>1时 (ax+1)(x+1)<0
a(x+1/a)(x+1)<0
(x+1/a)(x+1)<0
-1<x<-1/a

Answer 2

ax^2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)<0
当a<0时,方程的解为x<-1,或者x>-1/a
当0≤a<1时,方程的解为-1/a<x<-1
当a=1时,方程无解
当a>1时,方程的解为-1<x<-1/a

Answer 3

y=ax^2+(a+1)x+1为抛物线
1) 当a>0时，开口向上，欲使y<0，必有△=(a+1)^2-4a=(a-1)^2>0，即与x轴必须有两个交点
但a=1时，△=0，∴a=1时不等式无解
设两个交点的解分别为x1，x2，且x1<x2，则不等式解为x1<x<x2
解方程y=ax^2+(a+1)x+1=0，得x1=(-a-1-√△)/(2a)，x2=(-a-1+√△)/(2a),
当0<a<1时，√△=|a-1|=1-a，x1=-1/a，x2=-1，不等式解为-1/a<x<-1
当a>1时，√△=|a-1|=a-1，x1=-1，x2=-1/a，不等式解为-1<x<-1/a
2) 当a=0时，y=x+1<0，不等式解为x<-1
3) 当a<0时，开口向下，△=(a+1)^2-4a=(a-1)^2>0恒成立，即与x轴始终有两个交点
设两个交点的解分别为x1，x2，且x1<x2，则不等式解为x<x1或x>x2
解方程y=ax^2+(a+1)x+1=0，得x1=(-a-1+√△)/(2a)，x2=(-a-1-√△)/(2a),
∵a<0，∴√△=|a-1|=1-a，x1=-1，x2=-1/a，不等式解为x<-1或x>-1/a

综上所述，当0<a<1时，不等式解为-1/a<x<-1
当a>1时，不等式解为-1<x<-1/a
当a=0时，不等式解为x<-1
当a<0时，不等式解为x<-1或x>-1/a

Answer 4

ax^2+(a+1)x+1<0 a 1
十字相乘 X
(ax+1)(x+1)<0 1 1

（1）当a<0时 (ax+1)(x+1)<0
a(x+1/a)(x+1)<0
(x+1/a)(x+1)>0
x>-1/a 或x<-1
（2）a=0时 1x（x+1）<0
x<-1
（3）0<a<1 (ax+1)(x+1)<0
a(x+1/a)(x+1)<0
(x+1/a)(x+1)<0
-1/a<x<-1
（4）a=1时 （x+1)²<0 无解
（5）a>1时 (ax+1)(x+1)<0
a(x+1/a)(x+1)<0
(x+1/a)(x+1)<0
-1<x<-1/a
很清楚了。
我记得ax^2+(a+1)x之间应该是减法吧。
如果是那样答案就是下面的：
ax^2-(a+1)x+1<0
(ax-1)(x-1)<0

当a=0时
-(x-1)<0
解得x>1

当a>0时
1/a和1比较大小
当a>1时 1/a<1
解得1/a<x<1
当a=1时 1/a=1
x无解
当0<a<1时 1/a>1
解得1<x<1/a

当a<0时
(ax-1)(x-1)<0
两边同除以a
(x-1/a)(x-1)>0
解得x<1/a 或 x>1

Answer 5

ax^2+(a+1)x+1
=(ax+1)(x+1)<0
当a<1时得-1/a＜x＜-1
当a＞1时得-1＜x＜-1/a