Question

设函数f(x)=log1/2(1-ax)/(x-1)为奇函数,a为常数。 3.若对[3,4]上的任意x值,不等式f(x)>0.5^x+m恒成立,

设函数f(x)=log1/2(1-ax)/(x-1)为奇函数,a为常数。
1、求a的值
2、证明f(x)在区间（1，正无穷）内单调递增,
3.若对[3,4]上的任意x值,不等式f(x)>0.5^x+m恒成立,求实数m的取值范围

Answer 1

1)因为f(x)为奇函数，所以f(x)+f(-x)=0,
即(1-ax)/(x-1)*(1+ax)/(-x-1)=0.5^0=1,
所以1-a^2x^2=1-x^2,所以a^2=1.
当a=1时，(1-ax)/(x-1)=-1不合，所以a=-1；

2)f(x)=log0.5[(1+x)/(x-1)]
因为(1+x)/(x-1)=1+2/(x-1)，
当x属于（1，正无穷）时，2/(x-1)递减，
所以(1+x)/(x-1)递减，而0<0.5<1，
所以log0.5[(1+x)/(x-1)]递增，
所以f(x)在区间（1，正无穷）内单调递增