Question

已知，abc是三角形的三边，方程（a²+b²+c²）x²+2（a+b+c）x+3有两个相等实数根

求证：三角形是正三角形

Answer 1

有相等根，所以B^2-4AC=0
所以4(a+b+c)^2-12(a^2+b^2+c^2)=0
所以(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)=0
所以a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2=0
所以2ab+2ac+2bc=2a^2+2b^2+2c^2
所以a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc<=(1/2)*(a^2+b^2)+(1/2)*(a^2+c^2)+(1/2)(b^2+c^2)
当且仅当a=b=c时等号成立
所以当a=b=c时
原式等于0符合题意
所以三边相等，是等边三角形。

Answer 2

△=4（a+b+c）^2-12（a²+b²+c²）=0
4（a+b+c）^2-12（a²+b²+c²）=0
展开得4（a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)-12（a²+b²+c²）=0
整理得2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
所以（a-b）^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
所以a=b=c，得证
“^2”是平方的意思