Question

已知函数f(x)=lnx+a/x(a＜0),直线l与函数y=f(x)的图像相切。 （1）求直线l的斜率k的取值范围

(2)设函数g(x)=f(x+1)-6x,已知函数y=g'(x)的图像经过点(-1/3,0),求函数y=g(x)的极值

Answer 1

（1）函数的定义域为x>0.
k＝f '(x)=1/x-a/x²＝（x－a）/x²
∵x>0 a<0 ∴ (x-a)/x²>0
即k∈（0，＋∞）
（2）f(x+1)=ln(x+1)+a/(x+1)
g(x)=ln(x+1)+a/(x+1)-6x
g '(x)=1/(x+1)-a/(x+1)²－6
由已知得 g ’（－1/3）=0 即 1/(-1/3+1)-a/(－1/3+1)²－6=0
解得 a＝－2
∴g(x)=ln(x+1)-2/(x+1)-6x
g '(x)=1/(x+1)+2/(x+1)²－6=－(2x+3)(3x+1)/(x²＋1)
令g'(x)=0 即 －(2x+3)(3x+1)/(x²＋1)＝0
得 x＝－3/2或x＝-1/3
∴g（－3/2）不存在
g（-1/3）=ln(-1/3+1)-2/(-1/3+1)-6(-1/3)=ln(2/3)-1
由已知得 g '(-1/3)＝0
当x<－1/3时 g ‘（x）>0，当x>－1/3时g'(x)<0
∴当x＝－1/3时，g(x)有极大值ln(2/3)-1
请复核数字计算