Question

一道2008年的全国高考题目

设△ABC的内角A，B,C所对的边长分别为a,b,c，且acosB-bcosA=3c/5，求tanAcotB的值。过程写详细点，最好每条式子根据什么得出来的都写出来，谢谢了！

Answer 1

acosB-bcosA=3c/5
sinAcosB - sinBcosA = 3sinC/5 (由正弦定理 得到)
sinAcosB - sinBcosA = 3sin(A + B)/5 (由三角形内角和 180 ° 得到)
sinAcosB - sinBcosA = (3/5)(sinAcosB + sinBcosA)
所以 (2/5)sinAcosB = (8/5)sinBcosA
即 a*cosB = 4*b*cosA (由正弦定理 得到)
所以 tanAcotB = (sinA*cosB)/(cosAsinB)
= a*cosB/(b*cosA) (由正弦定理 得到)
= 4

追问

所以 (2/5)sinAcosB = (8/5)sinBcosA 这步怎么出来的？看不懂，说下，谢谢！

追答

sinAcosB - sinBcosA = (3/5)(sinAcosB + sinBcosA)
它上面的这个式子 化简一下就出来了

追问

不会，我很笨····能再详细点吗？

追答

sinAcosB - sinBcosA = (3/5)(sinAcosB + sinBcosA)
sinAcosB - sinBcosA = (3/5)*sinAcosB + (3/5)*sinBcosA
sinAcosB - (3/5)*sinAcosB = (3/5)*sinBcosA + sinBcosA
(1 - 3/5)*sinAcosB = (3/5 + 1)*sinBcosA
(2/5)sinAcosB = (8/5)sinBcosA
这样会了吗？

追问

懂了，谢谢！！！不过我要等给最低楼的那个人答复。。迟点采纳了。

Answer 2

acosB-bcosA=3c/5，该式中的a.b.c可以换成其相对应的正弦值。

Answer 3

(1)由正弦定理可知：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,R为三角形外接圆的半径。
则acosB-bcosA=3c/5可化为：sinAcosB-sinBcosA=3sinC/5
且sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sinAcosB-sinBcosA=3(sinAcosB+sinBcosA)/5 两边同时除以cosAsinB,即可求出tanAcotB的值（tanAcotB=sinAcosB/cosAsinB）
（2）由sinAcosB-sinBcosA=3(sinAcosB+sinBcosA)/5得sin(A-B)=3sin(A+B)/5
又tan（A+B）=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=sin(A+B)/cos(A-B)

又sin(A-B)=3sin(A+B)/5得cos(A-B)=4sin(A+B)/5或-4sin(A+B)/5
所以，tan（A+B）的最大值为5/4

第二问有点不确定。。。。

追问

第一题靠你我知道了，谢谢，第二题我听老师讲，回来再给你答复

Answer 4

画图如下：

acosB=BD    bcosA=AD      AD+BD=AB=c

所以，AD=c/5，BD=4c/5

tanAcotB=CD/AD * BD/CD=BD/AD=4

追问

真不知道你怎么想的，虽然对了，不过没人会知道吧·

追答

什么意思？我说的不明白吗？