Question

三角形ABC, 已知（a^2 +b^2）sin(A-B)=(a^2 -b^2)sin(A+B) 证明是等腰三角形或直角三角形

Answer 1

由题知，
三角形ABC中,
已知（a² +b²）sin(A-B)=(a² -b²)sin(A+B)
所以，有
b²(sin(A-B)+sin(A+B)) = a²(sin(A+B)-sin(A-B))
所以
b²(2sinAcosB) = a²(2sinBcosA)
而cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosA=(b²+c²-a²)/2bc
所以
b²(a*(a²+c²-b²)/ac) = a²(b*(b²+c²-a²)/bc)
化简得
a²b²+b²c²-b²b²=a²b²+a²c²-a²a²
所以，
b²c²-b²b²=a²c²-a²a²
c²(b²-a²)=(b²-a²)(b²+a²)
所以
(b²-a²)(b²+a²-c²)=0

即b=a或b²+a²-c²
对应的三角形ABC为
等腰三角形或直角三角形

Answer 2

a^2sinAcosB-a^2cosAsinB+b^2sinAcosB-b^2cosAsinB
=a^2sinAcosB+a^2cosAsinB-b^2sinAcosB-b^2cosAsinB
a^2cosAsinB-b^2sinAcosB=0
等式两边同除以b^2,因为a/b=sinA/sinB
所以sinA^2cosAsinB-sinB^2sinAcosB=0
sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0
即sinAcosA-sinBcosB=0
sin2A-sin2B=0
sin((2A+2B)/2)cos((2A-2B)/2)=0
故A+B=90度或A=B
得证