Question

高中数学，三角函数化简

α=15°，α+β<90°
求(sin(α+β))/(2*sinα+sinβ)的最大值，并求此时β的大小
要过程，谢谢
β>0

Answer 1

记y=sin(α+β)/(2sinα+sinβ),对y求导，y'=(sin2αcosβ-2sin2αsinβ-sinα)/(2sinα+sinβ)2
α=15°,得到y'=1/2cosβ-(1-√3/2)sinβ-(√6-√2)/4
另y'=0 利用公式asinA+bcosA=√(a2+b2)sin(A+M),其中tanM=b/a
得到的β就是所求值。

ps:算起来有点麻烦，我挺忙的，暂时就这么解答了，如有疑问可以追问。。。。

追问

能不用微积分吗。。

追答

这不是微积分，y=sin(α+β)/(2sinα+sinβ)是一个三角函数，β是自变量，y是应变量。求导会的吧？
我再重新做吧：y'==(sin2αcosβ-2sin^2αsinβ-sinα)/(2sinα+sinβ)^2=1/2cosβ-(1-√3/2)sinβ-(√6-√2)/4
现在令y'=0 利用公式asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M),其中tanM=b/a
y'=(2-√3)sin(β+M)-(√6-√2)/4=0 其中tanM=√3-2
得到sin(β+M）=(√6+√2)/4=sin75°=sin(-105°)
又M=arctan(√3-2)=-15° α+β<90°所以β=-90°
当β〉-90°时y'<0 当β<-90°时y'〉0
因此当β=-90°时取最大值。

PS：这样解答是否明白了。其实就是函数增减性的问题。

追问

不好意思，漏了一个条件，β>0

追答

不好意思我算错了。
注意了：y'=(√6-√2)/2*sin(β-15°)-(√6-√2)/4
我的错误在于在公式中asinA+bcosA=√(a^2+b^2)sin(A+M)漏掉了根号，实在抱歉。
然后令y'=0 得到 sin(β-15°）=1/2 即β=45°
最大值为√2/2

抱歉了，多年不碰数学，都生疏了。这次应该对了