Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，而且：AF=CE∠B=30

求证：四边形ACEF为菱形。

Answer 1

证明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂线，
∴E为AB边的中点．
∴CE=AE=BE．
∵∠B=30°
∴∠BAC=60°，
∴△ACE为正三角形．
在△AEF中，∠AEF=∠DEB=∠CAB=60°，
而AF=CE，又CE=AE，
∴AE=AF，
∴△AEF也为正三角形．
∴∠CAF=∠AEF=60°．
∴AC 平行且等于EF．
∴四边形ACEF为平行四边形．
又CE=AC，
∴▭ACEF为菱形．
不懂，请追问，祝愉快O(∩_∩)O~

Answer 2

因为ABC为直角三角形，角B=30°，CE为斜边上的中线，所以AE=CE=BE=AC.
则AEC是一个等边三角形，角EAC=60°。
因为DF//AC,所以角FEA=EAC=60°。
因为AF=CE，所以AF=AE,AEF是等腰三角形，且角FEA=60°，
所以三角形AEF是等边三角形。
又AEF和AEC有一个公共边，所以二者全等，所以四边形ACEF四边相等，为菱形。