Question

一个正整数可以表示两个正整数的平方差，就称这个正整数为智慧数。

问题：(1)98是智慧数吗？(2)从1～2000这2000个正整数中，有多少个智慧数？

Answer 1

(1)设 x 为智慧数，则 x = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = mn
其中 m = a+b , n = a-b (a>b)，且 a, b, m, n 均为正整数
由于 a+b 和 a-b 奇偶性相同，即 m, n 奇偶性相同，
所以可知智慧数可分解为两个奇偶性相同的因数。
由于 98 = 1*98 = 2*49 ，不能满足上述要求，所以 98 不是智慧数。

(2)另一方面，若某一正整数 x 可分解为两个奇偶性相同的因数 m, n，则
x = mn = ((m+n)/2)^2 - ((m-n)/2)^2 = a^2 - b^2
其中 a = (m+n)/2 , b = (m-n)/2 , (m>n)，且 a,b,m,n 均为正整数
所以按定义 x 是智慧数。

综合(1)(2)可得，若一正整数 x 可分解为两个奇偶性相同的因数 m, n，则 x 是智慧数，否则不是
首先 1 不是智慧数，因为 1 = 1*1 = 1^2 - 0^2 ，而 0 不是正整数
其次大于1的奇数(设为 x )都是智慧数，因为 x = 1 * x ，1 和 x 同为奇数
再次能被4整除的偶数(设为 x)都是智慧数，因为 x = 4p = 2 * 2p ，2 和 2p同为偶数
最后只能被2整除而不能被4整除的偶数(设为 x )不是智慧数，
因为 x 只能分解为 1 * x (一奇一偶) 和 2 * p (一偶一奇)
综上所述，1 和 2与一大于2的质数的乘积（即只能被2整除而不能被4整除的偶数) 都不是智慧数
例如 1 , 6 , 10 , 14 等等。
要求1 到 2000 内智慧数，因为 1 到 1000 以内共有 168 个质数，除了2 以外共有167 个质数，所以 1 到 2000 内智慧数个数为 2000 - 1 - 167 = 1832 个

Answer 2

(1)设 x 为智慧数，则 x = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = mn
其中 m = a+b , n = a-b (a>b)，且 a, b, m, n 均为正整数
由于 a+b 和 a-b 奇偶性相同，即 m, n 奇偶性相同，
所以可知智慧数可分解为两个奇偶性相同的因数。
由于 98 = 1*98 = 2*49 ，不能满足上述要求，所以 98 不是智慧数。

(2)另一方面，若某一正整数 x 可分解为两个奇偶性相同的因数 m, n，则
x = mn = ((m+n)/2)^2 - ((m-n)/2)^2 = a^2 - b^2
其中 a = (m+n)/2 , b = (m-n)/2 , (m>n)，且 a,b,m,n 均为正整数
所以按定义 x 是智慧数。

综合(1)(2)可得，若一正整数 x 可分解为两个奇偶性相同的因数 m, n，则 x 是智慧数，否则不是
首先 1 不是智慧数，因为 1 = 1*1 = 1^2 - 0^2 ，而 0 不是正整数
其次大于1的奇数(设为 x )都是智慧数，因为 x = 1 * x ，1 和 x 同为奇数
再次能被4整除的偶数(设为 x)都是智慧数，因为 x = 4p = 2 * 2p ，2 和 2p同为偶数
最后只能被2整除而不能被4整除的偶数(设为 x )不是智慧数，
因为 x 只能分解为 1 * x (一奇一偶) 和 2 * p (一偶一奇)
综上所述，1 和 2与一大于2的质数的乘积（即只能被2整除而不能被4整除的偶数) 都不是智慧数
例如 1 , 6 , 10 , 14 等等。
要求1 到 2000 内智慧数，因为 1 到 1000 以内共有 168 个质数，除了2 以外共有167 个质数，所以 1 到 2000 内智慧数个数为 2000 - 1 - 167 = 1832 个
这就是解的全过程！！！！！！！