Question

一道数学问题

双曲线中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为L1、L2，经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1、L2于A、B两点。已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，且向量BF与向量FA同向，求双曲线离心率 。

Answer 1

设双曲线实半轴长度a，虚半轴长度b，半焦距长度c，离心率e。
设L1方程为y=bx/a，L2=-bx/a。则过F且与L1垂直的直线为FA方程为y=-a/b×(x-c)。
L1与FA联立，可得A 的横坐标x′=a²／c。L2与FA联立，可得B的横坐标x″=a²c/(a²－b²﹚。
下面，我们利用平面几何知识来计算OA,OB,AB的长度。这比按照题目的叙述一步一步计算要简洁。
在直角三角形OAF中，斜边PF=c，利用射影定理，直角边OA²=x′×c,得到OA=a.可见AF=b.
过A,B分别作oX轴的垂线交oX轴于M,N。
利用相似三角形OAM与三角形OBN，OA/OB=OM/ON，得到a/OB=x′／x″,OB可以求出。
又，在直角三角形FAM与三角形FBN中，AF/FB=MF/FN,由和比定理，(FA+FB)/AF=MN/FM.即
可知AB 的长度。
结合已知的2AB=OA+OB，易得。答：离心率e=二分之根号五。