Question

已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y都有f（x+y）=f（x）f（y），且x>0时，f（x)>1.求证：函数f（x）

高中水平，答得好的加分，拜托了
求证：函数f（x)在R上单调递增

Answer 1

证：设a＞0，则f（a）＞1，当x＞0时对于任意a，f（a+x）=f（a）f（x）＞f(x)，又a+x＞x
所以f（x）在（0，+∞）单调递增
因为对任意x、y都有f（x+y）=f（x）f（y），当y=0，f（x）=f（x）f（0），不存在所有x，使f（x）=0，所以f（0）=1，又x＞0时f（x）＞1，所以f（x）在【0，+∞）单调递增
因为f（x）f（-x）=f（0）=1，所以f（-x）=1/f（x）另b=-x，则f（b）= 1/f（x） 因为复合函数f（b）在x属于【0，+∞）单调递减，即b∈【0,-∞）f（b）单调递减，所以b∈（-∞，0】f（b）单调递增，即x∈（-∞，0】f（x）单调递增综上所述，x∈Rf（x）单调递增

Answer 2

1、f(x)=f(x-y)f(y)
f(x-y)=f(x)/f(y)
令x为x1，y为x2(x1,x2为任意实数，x1>x2)
x1-x2>0
f(x1-x2)>1
所以f(x1)/f(x2)>1
f(x1)>f(x2)
因为x1>x2
所以f(x)在R上单调增

追问

如果f(x2)<0,那不就是f（x1）<f(x2)吗

追答

我想提醒一下
“f(x2)0时，f（x)>1”但没说“xx2做的，得到f(x1)>f(x2)
如果令x1<x2,x1-x2<0,f(x1-x2)<1是得不到的
如果你实在不能理解可以看 shangzhun909 他的方法不错

Answer 3

你好，你的题目是不是还没有写完啊？应该是问f(x)是增还是减吧！
这个题目很简单啊。
f（2x）＝f（x+x）＝f（x）*f（x）大于等于0
所以f（x）大于等于0.
f（0+1）＝f（0）f（1）即f（1）＝f（0）f（1）
因为f（1）大于1，故f（0）＝1
当x大于0时，f（x+1）＝f（x）f（1），[f（x+1）/f（x）]＝f（1）大于1为增函数。

Answer 4

设△x>0，f(x+△x)-f(x)=f(x)*f(△x)-f(x)=f(x)[f(△x)-1]，因为x>时，有x>1，所以f(x)>1,f(△x)>1，
f(x+△x)-f(x)>0，f(x+△x)>f(x)。可见函数为增函数。