Question

设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时,恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围

Answer 1

这个方法挺简单，但要用到二阶导。
f(x)≤ax²-ax+4等价于xlnx≤ax²-ax.等价于lnx≤a(x-1).（因为x≥1）
当x=1时，上式即为0≤0，恒成立。
当x>1时，x-1>0,上式即为a≥lnx/(x-1)，只要求右边的最大值就行。
把右边记作函数g(x),求导得g'(x)=(1-1/x-lnx)/(x-1)²，分母恒为正，要研究g'(x)的正负，只需研究分子。
把分子记作h(x)，求导得h'(x)1+1/x²-1/x>0.（因为x>1）
所以h(x)当x>1时单调增，所以h(x)>h(1)=0.
所以g'(x)的分子恒为正，所以g'(x)>0，所以g(x)在当x>1时单调增，所以g(x)的最大值不存在，当x趋于正无穷时，g(x)趋于0，所以a≥0.
综上,a≥0.
虽然看起来有点繁琐，但思路简单，想清楚就行了。

Answer 2

二次函数对称轴为x=1/2，f（x）在x>=1时恒为正且严格单调递增，后面不等式恒成立说明a为正值，开口向上。结合函数图形可知，等号成立条件为两条曲线相切，意即导数值相等，于是对两边分别求导，并令其相等，解出a；再考察下a是可行域最大值还是最小值即可。

只是把我的思路理出来，有用的话还望采纳。

追问

设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时，恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围

追答

你还问什么？没看懂

追问

要详细答案

追答

抱歉我没心情做苦力，您自己做吧

Answer 3

不会