Question

如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．

如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．设P从出发起运动了t秒．
（1）如果点Q的速度为每秒2个单位，
①试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标（用含t的代数式表示，不要求写出t的取值范围）；
②求t为何值时，PQ∥OC？
（2）如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，
①试用含t的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；
②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的t的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由．

Answer 1

一（1）∵OC经过原点且C（4，3）
易得直线OC方程式：yoc=4/3 x
∴Q在OC上的坐标为（t，4/3 t）
∵BC平行于x轴，且C的纵坐标为3
易得直线BC方程式：ybc=3
∴Q在BC上的坐标为（t，3）
（2）∵PQ∥OC，BC∥AO
∴Q在BC上，且CQ=OP=t
∵OC=√（3²+4²）=5
∴由Q所走的路程得 5+t=2t，t=5
∴当t=5时，PQ∥OC

二、（1）设Q的速度为a，则有 t+at=1/2 ×（10+14+5+3）=16
∴t（1+a）=16，
路程at=16-t，速度a=16/t-1
（2）不可能，理由如下
梯形AOCB面积的一半=（10+14）× 3 × 1/2 × 1/2=18
当Q在OC上时，Q的纵坐标为：（16-t）sin∠AOC=（16-t）×3/5=（48-3t）/5
∴QOP三点围成的面积S=（48-3t）/5 × t ×1/2= -3/10 t² + 24/5 t= -0.3（t-8）² + 19.2
∵此时 0≤ 16-t ≤5，且0≤t≤14
∴11≤t≤14 ∴当t=11时，S取最大值，S=16.5＜18（不符题意）
当Q在BC上时，S=（16-t-5+t）× 3 × 1/2 =16.5＜18（不符题意）
∴直线PQ不能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分