Question

若函数y=f（x）的值域是【1/2,3】则函数F（x)=f（x）+1/f(x)的值域是

要详细啊

Answer 1

F(x)=f（x）+1/f(x)>=2
当f（x）=1/f(x)时,即
f（x）=1,即能取到最小值2
由于函数连续性,所以只要把
f（x）=1/2,和f(x)=3代入即可求得最大值,值域就出来了
1/2时F(x)=1/2+2=5/2
3时,F(x)=3+1/3=10/3
所以F(x)的范围是[2,10/3]

追问

F(x)=f（x）+1/f(x)>=2
这是怎么算出来的

追答

用公式
(a-b)^2>=0
a^2+b^2>=2ab
现在取
a=√f(x),b=1/√f(x),

Answer 2

函数y=f(x)的值域是[1/2,3],
f(x)>0
F(x)=f(x)+1/f(x)>=2
当且仅当f(x)=1/f(x)，即f(x)=1 (负舍）时成立!
所以f(x)的最小值为：2

证明下单调性！
对于f(x)=x+1/x (x>1)
设1<x1<x2<+无穷
f(x2)-f(x1)=x2-x1+1/x2-1/x1=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x1x2>1 1-x1x2>0
函数在x>0时，单调递增！

对于f(x)=x+1/x (0<x<1)
设0<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=x2-x1+1/x2-1/x1=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x1x2<1 1-x1x2<0
函数在0<x<1时，单调递减！

这样我们就知道了F(f(x))在〔1/2,1)上单调递减！在（1，3]上单独递增！
所以最大值在f(x)=1/2时或者＝3时
f(x)=1/2
F(x)=1/2+2=5/2
f(x)=3
F(x)=3+1/3=10/3
所以最大值为10/3

所以值遇为[2, 10/3]。

追问

F(x)=f(x)+1/f(x)>=2为什么 啊

Answer 3

值域为（2又1/2，3又1/3）