Question

如图,△ABC与△A1B1C1均为正三角形,BC和B1C1的中点均为D,试证明:AA1⊥CC1

Answer 1

做辅助线AD和A1D,因为D既是正三角形ABC边BC上的中点又是正三角形A1B1C1边B1C1上的中点

所以在三角形AA1D和三角形CC1D中，A1D⊥C1D, AD⊥CD

所以两个三角形的第三条边也垂直，即AA1⊥CC1

Answer 2

zqwangyz　已经说得很简明了。问题还可以这样来解决：

∵等边三角形的中线与高重合，而△ABC、△A1B1C1都是等边三角形，∴AD⊥CD，A1D⊥C1D
容易算出：C1D/A1D＝CD/AD＝1/√3，
又∠CDC1＝∠A1DC1－∠A1DC＝90°－∠A1DC1＝∠ADC－∠A1DC1＝∠ACA1，
∴△CDC1∽△ADA1，∴∠C1CD＝∠A1AD。

延长AA1交CC1于E，由∠C1CD＝∠A1AD，得：A、D、E、C共圆，∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴AA1⊥CC1。

如果不用有关四点共圆的知识，可以这样进行：
延长AA1交CC1于E，令AE与CD相交于F。
由∠C1CD＝∠A1AD，∠CFE＝∠AFD，得：△CEF∽△ADF，∴∠CEF＝∠ADF＝90°，
∴AA1⊥CC1。